Elegir entre árboles y tablas de contingencia y pasar de una representación a otra sin perder información.
Míralo en un dibujo
A tiene probabilidad 0,4 y B, 0,6. Tras A, P(E|A)=0,75; tras B, P(E|B)=0,25. P(E)=0,4·0,75+0,6·0,25=0,45.
Antes de seguir: ¿Qué probabilidad tiene el camino A y E?
Comprueba tu razonamiento
0,4·0,75=0,30. Se multiplican las probabilidades que aparecen a lo largo del camino.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Frecuencias relativas; Probabilidad condicionada; Sucesos complementarios.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué ofrece un árbol?
Una descomposición por etapas con condicionadas.
En un minuto
- Una descomposición por etapas con condicionadas.
- Intersecciones y marginales visibles.
- Las probabilidades conjuntas.
- La menor de las probabilidades marginales.
Entiende la idea
El concepto
Un árbol organiza procesos por etapas y una tabla organiza cruces de categorías. Ambos pueden representar la misma distribución conjunta. La elección depende del problema: un árbol resulta natural cuando cambian probabilidades entre pasos; una tabla facilita comparar grupos, calcular marginales y ver casillas faltantes.
Para construir una tabla 2×2, se colocan las intersecciones y después se suman filas y columnas. Si se conocen marginales e intersección, se recuperan las demás casillas mediante restas. Todas deben ser no negativas. Una intersección no puede superar ninguna de sus marginales y debe ser suficientemente grande para que la unión no exceda el total.
Cómo utilizarlo sin errores
Para pasar a un árbol se usan las marginales en el primer nivel y las condicionadas en el segundo. El producto de una rama inicial y una posterior devuelve la casilla conjunta. Puede construirse el árbol en el orden inverso, pero las probabilidades de segundo nivel cambian. Mantener las mismas condicionadas después de invertir el orden sería incorrecto.
En una encuesta o registro, una tabla describe los datos observados. La comparación entre modalidades no demuestra un efecto causal de la modalidad: puede haber selección, diferencias previas o variables omitidas. El objetivo de esta lección es organizar y calcular correctamente, separando hechos descriptivos de interpretaciones más fuertes. Los datos son ficticios y no valoran modalidades reales de enseñanza.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Casilla conjunta=probabilidad inicial·condicionada. max(0,P(A)+P(B)−1)≤P(A∩B)≤min(P(A),P(B)).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · De 200 personas ficticias, 120 usan modalidad O y 80 modalidad P. Están satisfechas 96 en O y 48 en P. Completa tabla y calcula satisfacción total.
- En O hay 96 satisfechas y 24 no; en P, 48 satisfechas y 32 no.
- Totales: 144 satisfechas y 56 no, con 200 personas.
- P(S)=144/200=0,72. Las tasas por modalidad son 96/120=0,80 y 48/80=0,60; el total no es la media simple 0,70.
Ejemplo 2 · Con la misma tabla, calcula P(O|S) y P(O|no S), y construye el primer nivel del árbol invertido.
- P(O|S)=96/144=2/3. P(O|no S)=24/56=3/7.
- El árbol que empieza por satisfacción tiene ramas 0,72 para S y 0,28 para no S.
- Después usa 2/3 y 3/7 hacia O, respectivamente. Por ejemplo 0,72·2/3=0,48=96/200, la misma casilla conjunta.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Con P(A)=0,7 y P(B)=0,6, ¿puede ser P(A∩B)=0,1?
Primera ayuda
La unión no puede superar uno.
Ver solución razonada
No: la unión sería 0,7+0,6−0,1=1,2. La intersección debe ser al menos 0,3.
Práctica 2 · En la tabla del ejemplo, comprueba independencia entre modalidad O y satisfacción.
Primera ayuda
Compara conjunta con producto de marginales.
Ver solución razonada
P(O∩S)=96/200=0,48, mientras P(O)P(S)=0,60·0,72=0,432. No son independientes descriptivamente; eso no establece causalidad.
Práctica 3 · En un árbol P(A)=0,4, P(B|A)=0,5 y P(B|Aᶜ)=0,2. Obtén las cuatro casillas.
Primera ayuda
Completa los complementarios de cada nodo.
Ver solución razonada
A∩B=0,20; A∩Bᶜ=0,20; Aᶜ∩B=0,60·0,20=0,12; Aᶜ∩Bᶜ=0,48. Suman 1.
El error que debes evitar
No reutilizar condicionadas al invertir un árbol. No aceptar casillas negativas. No confundir asociación descriptiva con un efecto causal demostrado.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Al invertir el orden de un árbol…
Solución y explicación
Respuesta: Hay que recalcular las condicionadas. La distribución conjunta permanece, pero cambian los denominadores.
Una casilla negativa al completar una tabla indica…
Solución y explicación
Respuesta: Datos o planteamiento incompatibles. Las frecuencias y probabilidades no pueden ser negativas.
Diferencia de satisfacción entre grupos implica causa demostrada…
Solución y explicación
Respuesta: No por sí sola. La tabla descriptiva no controla todas las explicaciones.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué ofrece un árbol?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Una descomposición por etapas con condicionadas.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué ofrece una tabla?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Intersecciones y marginales visibles.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué debe conservar el cambio de representación?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Las probabilidades conjuntas.
Intenta responder antes de mirar.
¿Límite superior de P(A∩B)?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La menor de las probabilidades marginales.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Construye los dos árboles completos de la tabla de satisfacción y verifica que cada uno reproduce las mismas cuatro probabilidades conjuntas.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.