Optimizar costes, ingresos y beneficios considerando dominio, fronteras y cantidades discretas.
Míralo en un dibujo
Coste C(x)=2x+4 e ingreso I(x)=4x. Se igualan en x=2 y valen 8. Para x>2, en este modelo, el ingreso supera al coste.
Antes de seguir: ¿El punto de equilibrio significa beneficio máximo?
Comprueba tu razonamiento
No. Significa beneficio cero: ingreso y coste son iguales. El máximo necesita un estudio distinto y un dominio.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Derivadas; Función beneficio; Dominio contextual.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué significa I′=C′ en beneficio?
Una condición de candidato interior, no prueba completa de máximo.
En un minuto
- Una condición de candidato interior, no prueba completa de máximo.
- Críticos y fronteras.
- El valor del objetivo y la interpretación pedida.
- Para separar el ejercicio matemático de decisiones comerciales reales.
Entiende la idea
El concepto
Optimizar un modelo económico comienza por identificar la magnitud que se quiere mejorar. Maximizar ingreso no equivale necesariamente a maximizar beneficio, porque el coste puede cambiar con la producción. Minimizar coste total tampoco equivale a minimizar coste medio: el primero puede reducirse produciendo cero, mientras el segundo se define para cantidades positivas.
La función objetivo se construye a partir de las relaciones disponibles y se restringe al dominio admisible. Si una demanda impone precio no negativo o existe capacidad máxima, esas condiciones delimitan q. Después se deriva, se localizan candidatos y se comparan valores o signos. Un punto crítico fuera del dominio no es una decisión disponible.
Cómo utilizarlo sin errores
La igualdad de ingreso marginal y coste marginal aparece al derivar B=I−C: un candidato interior cumple I′=C′. No garantiza por sí sola un máximo; se necesita verificar la forma del beneficio o su cambio de signo. En coste medio, la condición crítica qC′−C=0 equivale a igualdad entre coste marginal y medio cuando q>0.
Si las unidades son indivisibles, se evalúan enteros factibles próximos al óptimo continuo y se comparan fronteras. No se redondea una cantidad sin comprobar el objetivo y las restricciones. Los resultados pertenecen a un modelo hipotético con datos y costes definidos; no incluyen automáticamente decisiones comerciales reales. La explicación final debe dar cantidad, precio si corresponde, valor óptimo y razón por la que ninguna opción admisible lo mejora.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
B=I−C. Candidato interior: B′=0 ⇔ I′=C′. Coste medio M=C/q; M′=(qC′−C)/q². Verificar máximo o mínimo y dominio.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Una demanda ficticia p=100−q y coste C=100+20q definen q∈[0,100]. Maximiza beneficio.
- I=100q−q² y B=80q−q²−100.
- B′=80−2q se anula en q=40 y B″=−2<0. El beneficio es una parábola cóncava, así que ese punto es máximo global en el intervalo.
- p=60 y B(40)=3200−1600−100=1500. Se comparan también fronteras: B(0)=−100 y B(100)=−2100.
Ejemplo 2 · Minimiza el coste medio de C(q)=100+4q+q² para q>0.
- M(q)=100/q+4+q. Su derivada es −100/q²+1.
- M′=0 da q=10, única raíz positiva. M′<0 antes y >0 después.
- El mínimo es M(10)=10+4+10=24 por unidad. El coste total correspondiente es 240, no 24.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Maximiza I(q)=60q−2q² en [0,30].
Primera ayuda
El vértice está donde I′=0.
Ver solución razonada
I′=60−4q, luego q=15. I(15)=900−450=450 y el precio asociado 60−2·15=30. I″=−4 confirma máximo.
Práctica 2 · Un beneficio B(q)=−q²+11q−10 se aplica a q enteros entre 0 y 10. Encuentra máximos.
Primera ayuda
El óptimo continuo es 5,5; compara 5 y 6.
Ver solución razonada
B(5)=20 y B(6)=20. Ambos son óptimos enteros; el continuo alcanzaría 20,25, pero q=5,5 no es admisible.
Práctica 3 · ¿I′(q)=C′(q) garantiza siempre beneficio máximo?
Primera ayuda
Piensa en la clasificación de puntos críticos.
Ver solución razonada
No. Solo identifica un candidato interior bajo derivabilidad. Podría ser mínimo o punto estacionario sin extremo; se comprueba cambio de signo, segunda derivada cuando decide y fronteras.
El error que debes evitar
No optimizar ingreso cuando se pide beneficio. No confundir coste medio mínimo con coste total mínimo. No omitir empates enteros.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Maximizar ingreso y beneficio…
Solución y explicación
Respuesta: Puede dar cantidades diferentes. El coste altera la función objetivo.
El coste medio se define como…
Solución y explicación
Respuesta: C(q)/q para q>0. No se confunde con coste marginal.
Un óptimo continuo no entero…
Solución y explicación
Respuesta: Requiere revisar candidatos enteros factibles. La integridad cambia el conjunto de decisiones.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué significa I′=C′ en beneficio?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Una condición de candidato interior, no prueba completa de máximo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué comparar en un dominio cerrado?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Críticos y fronteras.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué devolver además de q óptimo?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El valor del objetivo y la interpretación pedida.
Intenta responder antes de mirar.
¿Por qué declarar datos hipotéticos?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Para separar el ejercicio matemático de decisiones comerciales reales.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Compara la cantidad que maximiza ingreso con la que maximiza beneficio en el primer ejemplo y explica algebraicamente el efecto del coste variable.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.