Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Derivadas
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Derivadas y tasa de variación
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Ejercicio 1. Deriva B(q)=−2q²+40q−50 y calcula B′(5).
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Pista: Aplica la regla de potencia.
Solución: B′=−4q+40; B′(5)=20. En ese punto el beneficio aumenta localmente unas 20 unidades por una pequeña unidad de q.
Ejercicio 2. Deriva f(x)=ln(2x+1) e indica el dominio real.
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Pista: Usa cadena y argumento positivo.
Solución: Dominio x>−1/2. f′=2/(2x+1) en ese dominio.
Ejercicio 3. Si C′(20)=8 y Δq=0,1, estima ΔC.
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Pista: Usa la aproximación local.
Solución: ΔC≈8·0,1=0,8 unidades monetarias. Es una estimación que debe contrastarse si se necesita exactitud.
Crecimiento, extremos y curvatura
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Ejercicio 4. Halla extremos absolutos de f(x)=−x²+4x en [0,5].
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Pista: Compara el crítico con los dos extremos.
Solución: f′=−2x+4 da x=2. f(0)=0, f(2)=4, f(5)=−5. Máximo absoluto 4 en 2 y mínimo −5 en 5.
Ejercicio 5. ¿f(x)=x⁴ tiene inflexión en 0?
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Pista: Comprueba el signo de f″=12x².
Solución: No. f″ se anula pero no cambia de signo; la curvatura permanece hacia arriba.
Ejercicio 6. Una función tiene f′>0 y f″<0 en un intervalo. Interpreta ambas condiciones.
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Pista: Separa valor y pendiente.
Solución: La función crece, pero su pendiente disminuye: el crecimiento se ralentiza en ese intervalo. No significa que los valores bajen.
Optimización de costes y beneficios
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Ejercicio 7. Maximiza I(q)=60q−2q² en [0,30].
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Pista: El vértice está donde I′=0.
Solución: I′=60−4q, luego q=15. I(15)=900−450=450 y el precio asociado 60−2·15=30. I″=−4 confirma máximo.
Ejercicio 8. Un beneficio B(q)=−q²+11q−10 se aplica a q enteros entre 0 y 10. Encuentra máximos.
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Pista: El óptimo continuo es 5,5; compara 5 y 6.
Solución: B(5)=20 y B(6)=20. Ambos son óptimos enteros; el continuo alcanzaría 20,25, pero q=5,5 no es admisible.
Ejercicio 9. ¿I′(q)=C′(q) garantiza siempre beneficio máximo?
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Pista: Piensa en la clasificación de puntos críticos.
Solución: No. Solo identifica un candidato interior bajo derivabilidad. Podría ser mínimo o punto estacionario sin extremo; se comprueba cambio de signo, segunda derivada cuando decide y fronteras.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.