Usar matrices para organizar datos y realizar operaciones con interpretación económica o social.
Míralo en un dibujo
Una matriz A de tamaño 2×3 puede multiplicarse por una matriz B de tamaño 3×2. El resultado AB es 2×2. Para la entrada (1,1) se combinan la fila 1 de A y la columna 1 de B.
Antes de seguir: ¿Qué tamaños deben coincidir para poder multiplicar?
Comprueba tu razonamiento
El número de columnas de la primera matriz y el de filas de la segunda.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Operaciones matriciales; Sistemas; Proporciones.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué hace el producto fila-columna?
Suma productos de entradas correspondientes.
En un minuto
- Suma productos de entradas correspondientes.
- Significado de filas, columnas, periodo y unidades.
- No en general.
- Ingresos o costes por fila, según el contexto.
Entiende la idea
El concepto
Una matriz reúne datos de manera que cada fila y columna represente una categoría definida. Su dimensión indica filas por columnas. Para que una operación tenga sentido, no basta que sea algebraicamente posible: también deben ser compatibles las unidades y los significados de las entradas. Sumar cantidades de periodos distintos puede ser útil si las categorías coinciden; sumar precios y cantidades sin una interpretación no lo es.
La suma y el producto por un escalar se hacen entrada a entrada. El producto matricial combina filas del primer factor con columnas del segundo. Si A es m×n y B es n×p, AB es m×p. Cada entrada resume una suma de productos, como cantidades por precios, horas por costes o transiciones entre categorías.
Cómo utilizarlo sin errores
El producto no es conmutativo en general. Cambiar el orden puede alterar el resultado o hacerlo imposible. La matriz identidad conserva el factor en dimensiones compatibles y la traspuesta cambia filas por columnas. En este curso, la escritura [a,b;c,d] separa filas mediante punto y coma, para que las matrices puedan leerse también sin un editor de fórmulas especial.
En una aplicación conviene presentar una leyenda: qué significan índices, periodo y unidades. Después se calcula y se traduce el resultado. Un número obtenido correctamente puede responder a otra pregunta si se intercambiaron filas y columnas. Todos los datos económicos de las actividades son ficticios y tienen finalidad matemática, no representan precios vigentes ni asesoramiento comercial.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
(AB)ᵢⱼ=Σₖaᵢₖbₖⱼ. Dimensiones: (m×n)(n×p)→m×p. En general AB≠BA.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Dos actividades consumen recursos según A=[2,1,0;1,3,2]. Dos escenarios de coste por recurso son B=[4,1;2,5;3,2]. Calcula AB.
- A tiene dos filas de actividades y tres columnas de recursos; B tiene tres filas de recursos y dos columnas de escenarios.
- AB=[2·4+1·2+0·3,2·1+1·5+0·2;1·4+3·2+2·3,1·1+3·5+2·2]=[10,7;16,20].
- Cada fila da el coste de una actividad en los dos escenarios ficticios.
Ejemplo 2 · Ventas de dos sucursales y dos productos son Q=[3,2;1,4], y precios p=[10;5]. Halla ingresos por sucursal.
- El producto Qp tiene dimensión 2×1.
- Qp=[3·10+2·5;1·10+4·5]=[40;30].
- Los ingresos totales son 70. El vector de precios debe seguir el mismo orden de productos que las columnas de Q.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Si una matriz de datos es 3×2 y un vector es 2×1, ¿cuántos resultados da el producto?
Primera ayuda
Mira dimensiones exteriores.
Ver solución razonada
Da un vector 3×1: tres resultados, uno por fila de datos.
Práctica 2 · Calcula 2A−B con A=[1,3;2,0] y B=[0,1;4,2].
Primera ayuda
La resta se hace entrada a entrada.
Ver solución razonada
2A=[2,6;4,0], luego 2A−B=[2,5;0,−2].
Práctica 3 · ¿Qué información se pierde si se entregan solo los números [40;30] del ejemplo?
Primera ayuda
Piensa en etiquetas y unidades.
Ver solución razonada
Se desconoce a qué sucursal, periodo y unidad monetaria corresponden. Una respuesta contextual necesita identificar esas dimensiones, no solo el resultado numérico.
El error que debes evitar
No confundir producto matricial con producto entrada a entrada. No cambiar el orden de categorías. No presentar cifras económicas ficticias como datos actuales.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Para multiplicar matrices deben coincidir…
Solución y explicación
Respuesta: Columnas de la primera y filas de la segunda. Son las dimensiones interiores del producto.
Trasponer una matriz significa…
Solución y explicación
Respuesta: Intercambiar filas y columnas. No equivale a calcular una inversa.
Un producto numéricamente correcto…
Solución y explicación
Respuesta: Puede estar mal interpretado. El orden de categorías y las unidades son parte del modelo.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué hace el producto fila-columna?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Suma productos de entradas correspondientes.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué debe acompañar a una matriz de datos?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Significado de filas, columnas, periodo y unidades.
Intenta responder antes de mirar.
¿El producto es conmutativo?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No en general.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué representa Qp en un modelo de cantidades y precios?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Ingresos o costes por fila, según el contexto.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Añade una tercera sucursal al ejemplo y explica qué matriz cambia y por qué el vector de precios conserva su dimensión.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.