Distribuciones

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Unidad 7

La media de muchas observaciones varía menos que una observación individual, bajo independencia y varianza finita.

Lecciones del tema

Resumen y esquema de decisión

Formulario del tema

Binomial y normal

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}(X\sim \mathrm{Bin}(n,p))$$

$$\mu =np,\sigma =\sqrt{np(1-p)}$$

Tipificación y aproximaciones

$$\mathrm{\Phi }(z)=P(Z\le z),Z\sim N(0,1)$$

$$x_p=\mu +z_p\sigma \text{percentil de una normal}$$

Distribución de la media muestral

$$E(\overline{X})=\mu ,\mathrm{SE}(\overline{X})=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\text{observaciones independientes, igual varianza}$$

$$Z=\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\text{normal exacta o aproximada, según hipótesis}$$

Refuerzo 1 · Recuperación activa

Cierra los apuntes. Escribe una respuesta antes de revelar cada criterio; después compárala y corrige lo que falte.

¿Cómo se calcula al menos un éxito?

1−(1−p)ⁿ.

¿Frontera de X≥k?

k−0,5.

¿Centro de X̄?

μ, bajo los supuestos indicados.

Refuerzo 2 · Detecta el error

Refuerzo 3 · Reto de transferencia

Refuerzo 4 · Minitest mixto

Nueve preguntas del banco de las tres lecciones, reunidas para practicar la elección del método. Se reutilizan preguntas, no se presentan como un banco nuevo.

Para un modelo binomial exacto, p…

1. Puede cambiar en cada ensayo
2. Debe ser constante
3. Siempre vale 0,5

Solución y explicación

Respuesta: Debe ser constante. La probabilidad de éxito es la misma en los ensayos independientes.

X>55 en una binomial se aproxima con…

1. Y>55,5
2. Y>54,5
3. Y>55 sin más

Solución y explicación

Respuesta: Y>55,5. El primer entero incluido es 56 y su borde inferior es 55,5.

La desviación típica de X̄ para observaciones independientes es…

1. σ/n
2. σ/√n
3. σ√n

Solución y explicación

Respuesta: σ/√n. La varianza es σ²/n y la desviación es su raíz.

En una normal, P(X=μ) vale…

1. 0
2. 0,5
3. 1

Solución y explicación

Respuesta: 0. Un único punto no tiene área.

Una tabla Φ devuelve normalmente…

1. La altura de la curva
2. El área a la izquierda
3. Solo la cola derecha

Solución y explicación

Respuesta: El área a la izquierda. Hay que comprobar la convención de la tabla utilizada.

Cuadruplicar n hace que el error estándar…

1. Se reduzca a la mitad
2. Se reduzca a la cuarta parte
3. No cambie

Solución y explicación

Respuesta: Se reduzca a la mitad. √(4n)=2√n.

Si la varianza es 9, la desviación típica es…

1. 81
2. 9
3. 3

Solución y explicación

Respuesta: 3. La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

La corrección de continuidad es necesaria porque…

1. La normal tiene una media distinta
2. Las variables cambian de unidades
3. Se aproxima una variable discreta por una continua

Solución y explicación

Respuesta: Se aproxima una variable discreta por una continua. Se asigna a cada entero un intervalo de anchura uno.

Con n=30, cualquier distribución de medias es exactamente normal…

1. Siempre
2. Solo si la media vale cero
3. No

Solución y explicación

Respuesta: No. La exactitud procede de la normalidad poblacional, no de un umbral universal.

Refuerzo 5 · Flashcards del tema

Las doce tarjetas se comparten con las lecciones: son las mismas tarjetas, no doce duplicados que haya que estudiar dos veces.

¿Qué cuenta una binomial?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Éxitos en n ensayos independientes con probabilidad constante.

Intenta responder antes de mirar.

¿Cómo se calcula al menos un éxito?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

1−(1−p)ⁿ.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué representa el área bajo la normal?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Una probabilidad.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué convención usa esta lección?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

N(μ,σ), con σ como desviación típica.

Intenta responder antes de mirar.

¿Frontera de X≤k?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

k+0,5 en la aproximación normal.

Intenta responder antes de mirar.

¿Frontera de X≥k?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

k−0,5.

Intenta responder antes de mirar.

¿Cómo se obtiene una cola derecha?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

1−Φ(z).

Intenta responder antes de mirar.

¿Un umbral np≥5 garantiza exactitud?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

No; es una regla orientativa y la precisión depende también de la probabilidad buscada.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué varía en una distribución muestral?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

El estadístico entre muestras repetidas.

Intenta responder antes de mirar.

¿Centro de X̄?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

μ, bajo los supuestos indicados.

Intenta responder antes de mirar.

¿Error estándar y desviación individual son iguales?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

No: el error estándar de la media es σ/√n.

Intenta responder antes de mirar.

¿Más muestra elimina un sesgo de selección?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

No necesariamente.

Intenta responder antes de mirar.

Refuerzo 6 · Mezcla con un tema anterior

Cambia de procedimiento para comprobar si puedes elegirlo sin que el título del tema te lo indique.

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Fuentes y revisión editorial

Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.

• Real Decreto 243/2022, texto consolidado: enseñanzas mínimas de Bachillerato
• Orden de 30 de mayo de 2023: currículo de Bachillerato en Andalucía