Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Distribuciones
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Binomial y normal
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Ejercicio 1. X~B(4;0,5). Calcula P(X=2).
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Pista: Cuenta las formas de elegir dos éxitos.
Solución: C(4,2)·0,5⁴=6/16=0,375.
Ejercicio 2. Una binomial tiene n=20 y p=0,1. Obtén media y desviación típica.
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Pista: La varianza no es la desviación típica.
Solución: μ=2; varianza=20·0,1·0,9=1,8; σ=√1,8≈1,3416.
Ejercicio 3. X~N(60,8), σ=8. Calcula P(X≤72) con Φ(1,5)=0,93319.
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Pista: Tipifica el límite.
Solución: Z=(72−60)/8=1,5; la probabilidad pedida es 0,93319, no 1−0,93319.
Tipificación y aproximaciones
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Ejercicio 4. Para B(100;0,5), aproxima P(X≥60). Usa Φ(1,9)=0,97128.
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Pista: El primer entero incluido es 60.
Solución: La frontera inferior es 59,5; z=(59,5−50)/5=1,9. La cola derecha es 1−0,97128=0,02872.
Ejercicio 5. Aproxima P(X=50) en la misma binomial. Usa Φ(0,1)=0,53983.
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Pista: Un punto discreto se representa con un intervalo.
Solución: Se usa 49,5≤Y≤50,5, es decir −0,1≤Z≤0,1. La probabilidad es 2·0,53983−1=0,07966.
Ejercicio 6. X~N(40,5), σ=5. Obtén el intervalo central del 95 %, usando z=1,96.
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Pista: Deja 2,5 % en cada cola.
Solución: 40±1,96·5 produce [30,2;49,8]. Es un intervalo de valores individuales del modelo, no un intervalo de confianza para una media desconocida.
Distribución de la media muestral
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Ejercicio 7. μ=50, σ=12 y n=36. Obtén media y desviación de X̄.
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Pista: El promedio no cambia el centro poblacional.
Solución: E(X̄)=50 y desviación 12/√36=2. La forma será exactamente normal si la población lo es; de otro modo hay que justificar la aproximación.
Ejercicio 8. Se quiere pasar de error estándar 3 a 1 con el mismo σ. ¿Qué ocurre con n?
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Pista: El error estándar varía como 1/√n.
Solución: Hay que multiplicar n por 9, no por 3.
Ejercicio 9. En una población normal μ=100, σ=15, calcula P(97≤X≤103) para una persona. Usa Φ(0,2)=0,57926.
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Pista: Ahora X no es una media de 25 observaciones.
Solución: z=±3/15=±0,2. El área es 2·0,57926−1=0,15852, menor que la probabilidad correspondiente a la media de 25 individuos.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.