Integración

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Unidad 5

Una tasa se integra para obtener un cambio; el valor inicial completa la cantidad acumulada.

Lecciones del tema

Resumen y esquema de decisión

Formulario del tema

Primitivas básicas

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\ne -1)$$

$$\int e^{kx}dx=\frac{e^{kx}}{k}+C(k\ne 0)$$

$$\int \frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}dx=\ln |g(x)|+C$$

Integral definida

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)(F^{\prime }=f,f\text{ continua})$$

$$f_{\mathrm{medio}}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx(a<b)$$

Áreas e interpretación acumulada

$$\mathcal{A}={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$$

$$A(t)=A(0)+{\int }_0^{t}r(s)ds$$

Refuerzo 1 · Recuperación activa

Cierra los apuntes. Escribe una respuesta antes de revelar cada criterio; después compárala y corrige lo que falte.

¿Primitiva de 1/x?

ln|x|+C en intervalos sin cero.

¿Qué ocurre con +C en una integral definida?

Se cancela.

¿Qué conservar al cambiar de tramo?

Lo acumulado hasta la frontera.

Refuerzo 2 · Detecta el error

Refuerzo 3 · Reto de transferencia

Refuerzo 4 · Minitest mixto

Nueve preguntas del banco de las tres lecciones, reunidas para practicar la elección del método. Se reutilizan preguntas, no se presentan como un banco nuevo.

Conocer C′ determina C de forma única sin más datos…

1. Sí
2. No: falta una constante
3. Solo si es polinómica

Solución y explicación

Respuesta: No: falta una constante. Una condición inicial como el coste fijo fija el nivel.

Integrar una tasa por hora respecto a horas da…

1. Cantidad
2. Otra tasa por hora
3. Siempre un porcentaje

Solución y explicación

Respuesta: Cantidad. Las unidades de tiempo se cancelan.

Para un área geométrica se integra…

1. La separación con signo sin revisar
2. La separación no negativa
3. Solo la curva más alta sin restar

Solución y explicación

Respuesta: La separación no negativa. Se evita la cancelación entre tramos.

Para comprobar una primitiva se…

1. Deriva
2. Suman sus extremos
3. Eleva al cuadrado

Solución y explicación

Respuesta: Deriva. La derivada debe devolver el integrando.

∫₀ᵇC′(q)dq representa…

1. C(b) siempre
2. C(b)−C(0)
3. C′(b)

Solución y explicación

Respuesta: C(b)−C(0). Para el total hay que sumar el nivel inicial.

Una acumulada puede ser continua con tasa que salta…

1. Sí
2. Nunca
3. Solo si es cero

Solución y explicación

Respuesta: Sí. La pendiente puede cambiar sin salto del valor acumulado.

La integral de un producto es el producto de integrales…

1. Siempre
2. Solo en costes
3. No en general

Solución y explicación

Respuesta: No en general. La linealidad se aplica a sumas y factores constantes, no a productos arbitrarios.

El valor medio de f se obtiene…

1. Sumando f(a)+f(b) siempre
2. Solo con la derivada
3. Dividiendo la integral por la longitud del intervalo

Solución y explicación

Respuesta: Dividiendo la integral por la longitud del intervalo. Esa es la definición de media integral.

Una interpretación económica de un área…

1. Es universal sin supuestos
2. No tiene unidades
3. Depende del modelo y de las variables

Solución y explicación

Respuesta: Depende del modelo y de las variables. Integrar precio por cantidad da una magnitud distinta de un área física.

Refuerzo 5 · Flashcards del tema

Las doce tarjetas se comparten con las lecciones: son las mismas tarjetas, no doce duplicados que haya que estudiar dos veces.

¿Qué representa la constante en un coste total?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Puede representar el coste fijo al fijar C(0).

Intenta responder antes de mirar.

¿Primitiva de 1/x?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

ln|x|+C en intervalos sin cero.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué estructura produce un logaritmo?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Derivada de una función dividida por la propia función.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué hacer después de integrar una tasa?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Usar la condición inicial y verificar por derivación.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué hace Barrow?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Resta valores de una primitiva en los extremos.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué ocurre con +C en una integral definida?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Se cancela.

Intenta responder antes de mirar.

¿Integral neta cero implica tasa cero?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

No: puede haber compensación.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué añade un valor inicial a la integral de una tasa?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Permite obtener el nivel final.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué diferencia saldo y actividad absoluta?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

El saldo permite cancelación; la magnitud absoluta suma contribuciones sin signo.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué conservar al cambiar de tramo?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Lo acumulado hasta la frontera.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué indica el área precio-cantidad?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Una magnitud monetaria bajo la interpretación especificada.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué revisar antes de restar curvas?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Cortes y cuál está por encima en cada tramo.

Intenta responder antes de mirar.

Refuerzo 6 · Mezcla con un tema anterior

Cambia de procedimiento para comprobar si puedes elegirlo sin que el título del tema te lo indique.

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Fuentes y revisión editorial

Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.

• Real Decreto 243/2022, texto consolidado: enseñanzas mínimas de Bachillerato
• Orden de 30 de mayo de 2023: currículo de Bachillerato en Andalucía