Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Integración
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Primitivas básicas
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Ejercicio 1. Calcula ∫(4x³−3x²+2)dx.
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Pista: Integra cada término.
Solución: x⁴−x³+2x+C.
Ejercicio 2. Una cantidad satisface N′(t)=20e^(−0,5t) y N(0)=10. Halla N(t).
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Pista: La primitiva exponencial incluye división por −0,5.
Solución: N(t)=−40e^(−0,5t)+K. Al imponer N(0)=10, K=50. N(t)=50−40e^(−0,5t).
Ejercicio 3. Calcula ∫3/(3x+2)dx e indica el punto excluido.
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Pista: Reconoce derivada interior.
Solución: ln|3x+2|+C, por intervalos que no crucen x=−2/3. La primitiva no hace que el integrando exista en ese punto.
Integral definida
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Ejercicio 4. Calcula ∫₁³(2x+1)dx.
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Pista: Una primitiva es x²+x.
Solución: (9+3)−(1+1)=10.
Ejercicio 5. Halla el valor medio de f(t)=2t+1 en [0,4].
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Pista: Divide la integral por 4.
Solución: La integral es [t²+t]₀⁴=20 y el valor medio 20/4=5.
Ejercicio 6. Una tasa neta es +3 durante 2 h y −2 durante 3 h. Calcula cambio neto.
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Pista: Suma las acumulaciones con signo.
Solución: 3·2+(−2)·3=0. Hubo entradas y salidas de 6 unidades cada una; el cambio neto cero no significa inactividad.
Áreas e interpretación acumulada
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Ejercicio 7. Calcula saldo neto y área absoluta de r(t)=t−2 en [0,4].
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Pista: Divide en el cero t=2 para el área.
Solución: El saldo es [t²/2−2t]₀⁴=0. El área absoluta suma dos triángulos de base 2 y altura 2: 2+2=4.
Ejercicio 8. Halla el área entre y=3x e y=x² entre sus cortes.
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Pista: Los cortes son 0 y 3 y 3x queda arriba.
Solución: A=∫₀³(3x−x²)dx=[3x²/2−x³/3]₀³=27/2−9=9/2.
Ejercicio 9. Si en el modelo a tramos A(0)=5, ¿cómo cambian A(2) y A(4)?
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Pista: La acumulada incorpora el nivel inicial.
Solución: A(2)=5+20=25 y A(4)=5+20+40=65. La tasa no cambia; toda la acumulada se desplaza 5 unidades.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.