Matrices

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Unidad 1

Una matriz aplicada necesita etiquetas y convención: las filas y columnas deben tener significado.

Lecciones del tema

Resumen y esquema de decisión

Formulario del tema

Matrices y operaciones

$$(AB{)}_{ij}=\sum _k{a}_{ik}{b}_{kj}$$

$$(m\times n)(n\times p)⟶m\times p$$

$$AB\ne BA\text{en general}$$

Inversa y ecuaciones matriciales

$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)(ad-bc\ne 0)$$

$$AX=B\Rightarrow X=A^{-1}B$$

$$XA=B\Rightarrow X=B{A}^{-1}$$

Modelización mediante matrices

$$x=Ax+d\Rightarrow (I-A)x=d$$

$$x_{t+1}=P{x}_t,\sum _i{P}_{ij}=1\text{convención por columnas}$$

Refuerzo 1 · Recuperación activa

Cierra los apuntes. Escribe una respuesta antes de revelar cada criterio; después compárala y corrige lo que falte.

¿Qué debe acompañar a una matriz de datos?

Significado de filas, columnas, periodo y unidades.

¿Qué indica ad−bc≠0?

Inversibilidad en orden dos.

¿Qué revisar en la solución de cantidades?

No negatividad y supuestos de capacidad o contexto.

Refuerzo 2 · Detecta el error

Refuerzo 3 · Reto de transferencia

Refuerzo 4 · Minitest mixto

Nueve preguntas del banco de las tres lecciones, reunidas para practicar la elección del método. Se reutilizan preguntas, no se presentan como un banco nuevo.

Para multiplicar matrices deben coincidir…

1. Columnas de la primera y filas de la segunda
2. Filas exteriores siempre
3. Todas las dimensiones

Solución y explicación

Respuesta: Columnas de la primera y filas de la segunda. Son las dimensiones interiores del producto.

Una matriz cuadrada con determinante cero…

1. Tiene inversa si no es nula
2. No tiene inversa
3. Siempre tiene inversa de ceros

Solución y explicación

Respuesta: No tiene inversa. La singularidad impide multiplicar hasta identidad.

En x=Ax+d, Ax representa…

1. La demanda final siempre
2. El consumo interno según los coeficientes
3. La inversa de x

Solución y explicación

Respuesta: El consumo interno según los coeficientes. La producción debe cubrir tanto ese consumo como d.

Trasponer una matriz significa…

1. Invertirla
2. Intercambiar filas y columnas
3. Cambiar todos los signos

Solución y explicación

Respuesta: Intercambiar filas y columnas. No equivale a calcular una inversa.

Para XA=B se multiplica por A⁻¹…

1. A la derecha
2. A la izquierda siempre
3. En ambos lados de X sin orden

Solución y explicación

Respuesta: A la derecha. Así A y A⁻¹ quedan adyacentes en el lado adecuado.

Con vectores columna, una transición probabilística conserva total si…

1. Sus columnas suman uno
2. Todas las entradas son iguales
3. Su determinante vale uno siempre

Solución y explicación

Respuesta: Sus columnas suman uno. Además las entradas deben ser probabilidades no negativas.

Un producto numéricamente correcto…

1. Siempre responde al contexto
2. No necesita etiquetas
3. Puede estar mal interpretado

Solución y explicación

Respuesta: Puede estar mal interpretado. El orden de categorías y las unidades son parte del modelo.

Matriz singular significa que todo sistema con ella…

1. Es incompatible
2. Tiene solución única
3. Necesita estudiar el término independiente

Solución y explicación

Respuesta: Necesita estudiar el término independiente. Puede haber infinitas soluciones o ninguna.

Una distribución fija cumple…

1. Px=0
2. P+x=x
3. Px=x

Solución y explicación

Respuesta: Px=x. No cambia tras aplicar el paso del modelo.

Refuerzo 5 · Flashcards del tema

Las doce tarjetas se comparten con las lecciones: son las mismas tarjetas, no doce duplicados que haya que estudiar dos veces.

¿Qué hace el producto fila-columna?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Suma productos de entradas correspondientes.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué debe acompañar a una matriz de datos?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Significado de filas, columnas, periodo y unidades.

Intenta responder antes de mirar.

¿El producto es conmutativo?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

No en general.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué representa Qp en un modelo de cantidades y precios?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Ingresos o costes por fila, según el contexto.

Intenta responder antes de mirar.

¿Cómo comprobar una inversa?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

El producto debe dar identidad.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué indica ad−bc≠0?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Inversibilidad en orden dos.

Intenta responder antes de mirar.

¿Por qué importa el lado al multiplicar?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

El producto matricial no conmuta en general.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué revisar tras recuperar cantidades?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Que satisfagan ecuaciones y restricciones del contexto.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué significa I−A en producción?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Producción neta después de requerimientos internos lineales.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué revisar en la solución de cantidades?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

No negatividad y supuestos de capacidad o contexto.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué convención se usa aquí en transiciones?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Vectores columna y columnas de P que suman uno.

Intenta responder antes de mirar.

¿Una matriz fija garantiza una previsión real?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

No: su validez depende de supuestos y datos.

Intenta responder antes de mirar.

Mi registro de errores

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Fuentes y revisión editorial

Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.

• Real Decreto 243/2022, texto consolidado: enseñanzas mínimas de Bachillerato
• Orden de 30 de mayo de 2023: currículo de Bachillerato en Andalucía