Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Matrices
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Matrices y operaciones
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Ejercicio 1. Si una matriz de datos es 3×2 y un vector es 2×1, ¿cuántos resultados da el producto?
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Pista: Mira dimensiones exteriores.
Solución: Da un vector 3×1: tres resultados, uno por fila de datos.
Ejercicio 2. Calcula 2A−B con A=[1,3;2,0] y B=[0,1;4,2].
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Pista: La resta se hace entrada a entrada.
Solución: 2A=[2,6;4,0], luego 2A−B=[2,5;0,−2].
Ejercicio 3. ¿Qué información se pierde si se entregan solo los números [40;30] del ejemplo?
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Pista: Piensa en etiquetas y unidades.
Solución: Se desconoce a qué sucursal, periodo y unidad monetaria corresponden. Una respuesta contextual necesita identificar esas dimensiones, no solo el resultado numérico.
Inversa y ecuaciones matriciales
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Ejercicio 4. ¿Es invertible A=[2,4;1,2]?
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Pista: Calcula el determinante.
Solución: det=4−4=0. No existe inversa, aunque la matriz no sea nula.
Ejercicio 5. Resuelve AX=C con A=[2,1;1,1] y C=[5,3;3,2].
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Pista: A⁻¹=[1,−1;−1,2].
Solución: X=A⁻¹C=[2,1;1,1]. Puede verificarse que A²=C.
Ejercicio 6. Despeja X en 2XA=B, suponiendo A invertible.
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Pista: Divide por el escalar y multiplica por la inversa al lado correcto.
Solución: X=(1/2)BA⁻¹. No se coloca A⁻¹ a la izquierda salvo que exista una razón adicional de conmutación.
Modelización mediante matrices
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Ejercicio 7. En el modelo de producción, si A es la matriz cero, ¿qué relación hay entre x y d?
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Pista: No existe consumo interno.
Solución: x=d. Toda la producción se destina a demanda final en esa idealización.
Ejercicio 8. Para la transición del ejemplo, busca una distribución fija de total 100.
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Pista: Resuelve Px=x junto a x₁+x₂=100.
Solución: 0,2x₁=0,3x₂, de donde x₁=1,5x₂. Con el total se obtiene (60,40), que verifica P(60,40)=(60,40).
Ejercicio 9. ¿Una matriz de transición con columnas que suman 1,2 conserva automáticamente el total?
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Pista: Suma componentes de Px.
Solución: No. Bajo la convención columna, las columnas deben sumar uno para conservar probabilidades o cantidades totales sin entradas adicionales. Un total 1,2 representa otro tipo de modelo.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.