Aproximar probabilidades binomiales con una normal y aplicar correctamente la corrección de continuidad.
Míralo en un dibujo
Para aproximar P(X≤3) de una binomial por una normal se usa como frontera 3,5, no 3. Cada entero k representa un intervalo desde k−0,5 hasta k+0,5.
Antes de seguir: ¿Qué fronteras usarías para P(2≤X≤4)?
Comprueba tu razonamiento
1,5 y 4,5 en la aproximación continua, siempre que la aproximación normal sea adecuada.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Binomial; Normal; Probabilidad acumulada.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Por qué corregir continuidad?
Para relacionar masas en enteros con áreas continuas.
En un minuto
- Para relacionar masas en enteros con áreas continuas.
- La de misma media y varianza que la binomial.
- Traducirla a los enteros realmente incluidos.
- Como aproximación, indicando modelo y corrección aplicada.
Entiende la idea
El concepto
Una binomial puede aproximarse por una normal cuando n es suficientemente grande y la distribución no está demasiado concentrada cerca de cero o de n. La normal elegida tiene la misma media np y desviación √[np(1−p)]. Comprobar que np y n(1−p) no sean pequeños es una regla práctica de orientación; umbrales como cinco o diez no garantizan un error concreto en cualquier cola.
La binomial asigna masa a valores enteros, mientras la normal reparte área continua. La corrección de continuidad asocia cada entero k al intervalo de k−0,5 a k+0,5. Así, P(X≤k) se aproxima con P(Y≤k+0,5) y P(X≥k), con P(Y≥k−0,5). Para exactamente k se toma el intervalo completo de anchura uno.
Cómo utilizarlo sin errores
Las desigualdades estrictas deben traducirse primero a enteros. Por ejemplo, X>k equivale a X≥k+1 y el límite normal correspondiente es k+0,5. Escribir el conjunto de valores antes de corregir evita errores de media unidad. Después se tipifica con la desviación, no con la varianza.
La respuesta debe identificarse como aproximada y no como probabilidad exacta. En situaciones de colas muy extremas, tamaños pequeños o p próximo a cero o uno, el cálculo binomial exacto puede ser más apropiado si está disponible. Comparar ambos resultados en algunos casos ayuda a entender el alcance de la aproximación, pero no convierte una regla práctica en una garantía universal de precisión.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
B(n,p)≈N(np,√[np(1−p)]). P(X≤k)≈P(Y≤k+0,5). P(X≥k)≈P(Y≥k−0,5). P(X=k)≈P(k−0,5≤Y≤k+0,5).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Aproxima P(45≤X≤55) para X~B(100,0,5), usando Φ(1,1)=0,86433.
- La media es 50 y la desviación 5. np=n(1−p)=50, valores adecuados como orientación para la aproximación.
- Con continuidad: 44,5≤Y≤55,5. Al tipificar se obtiene −1,1≤Z≤1,1.
- P≈2·0,86433−1=0,72866. Es una aproximación normal, no el valor binomial exacto.
Ejemplo 2 · Aproxima P(X≥60) para la misma binomial, usando Φ(1,9)=0,97128.
- Al menos 60 incluye el entero 60, por lo que el límite continuo inferior es 59,5.
- z=(59,5−50)/5=1,9.
- P≈1−0,97128=0,02872. Usar 60,5 correspondería a otra desigualdad.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Para la misma binomial, aproxima P(X=50) usando Φ(0,1)=0,53983.
Primera ayuda
El intervalo corregido es [49,5;50,5].
Ver solución razonada
Al tipificar, [−0,1;0,1]. P≈2·0,53983−1=0,07966.
Práctica 2 · ¿Qué intervalo continuo corresponde a 48<X<53 cuando X es entero?
Primera ayuda
Primero enumera enteros incluidos.
Ver solución razonada
Se incluyen 49,50,51,52. La corrección de continuidad usa 48,5<Y<52,5, con igual probabilidad si se cierran extremos por continuidad.
Práctica 3 · Valora la aproximación normal para B(20,0,05).
Primera ayuda
Calcula np y n(1−p).
Ver solución razonada
np=1 y n(1−p)=19. La distribución es muy asimétrica y cercana al límite cero; una aproximación normal básica es poco aconsejable. Es preferible cálculo binomial exacto para estas probabilidades.
El error que debes evitar
No desplazar ambos límites hacia el mismo lado sin interpretar. No usar np(1−p) como desviación. No comunicar una aproximación como exacta.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
P(X≤10) se corrige como…
Solución y explicación
Respuesta: Y≤10,5. Se incluye la masa del entero 10 hasta su borde superior.
Una regla np≥5 garantiza cualquier error deseado…
Solución y explicación
Respuesta: No. Es una orientación, no una cota universal.
Para P(X>10), el límite normal inferior es…
Solución y explicación
Respuesta: 10,5. X>10 equivale a X≥11.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Por qué corregir continuidad?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Para relacionar masas en enteros con áreas continuas.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué normal se utiliza?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La de misma media y varianza que la binomial.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué hacer antes con una desigualdad estricta?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Traducirla a los enteros realmente incluidos.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo presentar el resultado?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Como aproximación, indicando modelo y corrección aplicada.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Calcula con una herramienta el valor binomial exacto del primer ejemplo y compáralo con 0,72866, indicando diferencia absoluta sin generalizarla a todos los casos.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.