Distinguir independencia e incompatibilidad y combinar sucesos mediante complementarios y operaciones de conjuntos.
Míralo en un dibujo
Si A y B son independientes con probabilidades 0,4 y 0,5, P(A∩B)=0,2. Pueden ocurrir simultáneamente. Dos sucesos incompatibles de probabilidad positiva no son independientes.
Antes de seguir: ¿Qué igualdad se comprueba para independencia?
Comprueba tu razonamiento
P(A∩B)=P(A)P(B). No basta con que los sucesos tengan nombres distintos.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Sucesos; Fracciones; Árboles.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué significa independencia?
No cambiar probabilidades al condicionar, o equivalencia mediante producto.
En un minuto
- No cambiar probabilidades al condicionar, o equivalencia mediante producto.
- No poder ocurrir simultáneamente.
- La intersección en la que ocurren ambos.
- Con ensayos independientes de probabilidad constante p.
Entiende la idea
El concepto
Dos sucesos A y B son independientes si P(A∩B)=P(A)P(B). Cuando las condicionadas están definidas, esto equivale a que conocer uno no modifique la probabilidad del otro. La independencia debe justificarse por el modelo o comprobarse con los datos; no se deduce de que los nombres de los sucesos parezcan distintos.
La incompatibilidad significa que A∩B es vacío. Si ambos tienen probabilidad positiva, no pueden ser independientes: al ocurrir uno, el otro queda descartado. En cambio, sucesos independientes pueden ocurrir simultáneamente. También conviene distinguir independencia por parejas e independencia conjunta cuando intervienen tres o más sucesos; comprobar solo pares no garantiza todos los productos conjuntos.
Cómo utilizarlo sin errores
Los complementarios simplifican expresiones como al menos uno. La probabilidad de que ocurra al menos un éxito es uno menos la de que no ocurra ninguno. Si los ensayos son independientes y tienen probabilidad p constante, ninguna ocurrencia en n ensayos tiene probabilidad (1−p)ⁿ. Si no hay independencia, ese producto puede ser incorrecto.
Las leyes de De Morgan relacionan complementarios de uniones e intersecciones: no ocurre A o B equivale a que no ocurra ninguno; no ocurren ambos equivale a que falle al menos uno. Traducir el lenguaje cotidiano con cuidado evita confundir exactamente uno, al menos uno y como máximo uno. Una tabla de cuatro regiones A∩B, A∩Bᶜ, Aᶜ∩B y Aᶜ∩Bᶜ permite comprobar fórmulas y asegurar que las probabilidades suman uno.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Independencia: P(A∩B)=P(A)P(B). P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). P(exactamente uno)=P(A)+P(B)−2P(A∩B).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Si A y B son independientes con probabilidades 0,4 y 0,3, calcula ambos, al menos uno y exactamente uno.
- P(ambos)=0,4·0,3=0,12.
- P(al menos uno)=0,4+0,3−0,12=0,58.
- P(exactamente uno)=0,4+0,3−2·0,12=0,46. La diferencia entre 0,58 y 0,46 corresponde a ambos.
Ejemplo 2 · En dos monedas equilibradas independientes, A es primera cara, B segunda cara y C obtener resultados iguales. Comprueba independencia por parejas y conjunta.
- P(A)=P(B)=P(C)=1/2. Cada intersección de dos tiene un único resultado entre cuatro, probabilidad 1/4.
- Por tanto, cada pareja cumple el producto 1/2·1/2.
- Pero A∩B∩C es cara-cara y tiene probabilidad 1/4, distinta de (1/2)³=1/8. Hay independencia por parejas, no conjunta.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · A y B son incompatibles con probabilidades 0,2 y 0,5. ¿Son independientes? Calcula su unión.
Primera ayuda
Compara intersección con producto.
Ver solución razonada
P(A∩B)=0 pero P(A)P(B)=0,10, por lo que no son independientes. P(A∪B)=0,70.
Práctica 2 · Tres intentos independientes tienen p=0,2 de éxito cada uno. Calcula al menos uno.
Primera ayuda
Usa ningún éxito como contrario.
Ver solución razonada
P(al menos uno)=1−0,8³=0,488.
Práctica 3 · Con P(A)=0,6, P(B)=0,5 y P(A∩B)=0,3, comprueba independencia y calcula ninguno.
Primera ayuda
Compara 0,3 con 0,6·0,5.
Ver solución razonada
Son independientes según esos datos. P(unión)=0,6+0,5−0,3=0,8, luego P(ninguno)=0,2.
El error que debes evitar
No intercambiar independiente e incompatible. No sumar probabilidades de sucesos que se solapan sin restar intersección. No usar productos de etapas sin revisar dependencia.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Dos sucesos incompatibles de probabilidad positiva son…
Solución y explicación
Respuesta: No independientes. Su intersección cero no coincide con el producto positivo.
Al menos un éxito se calcula como…
Solución y explicación
Respuesta: 1 menos ningún éxito. El complementario evita contar casos solapados.
Independencia por parejas entre tres sucesos…
Solución y explicación
Respuesta: No basta para independencia conjunta. Debe comprobarse también la intersección de los tres y las condiciones pertinentes.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué significa independencia?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No cambiar probabilidades al condicionar, o equivalencia mediante producto.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué significa incompatibilidad?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No poder ocurrir simultáneamente.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué excluye exactamente uno?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La intersección en la que ocurren ambos.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cuándo vale (1−p)ⁿ para ningún éxito?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Con ensayos independientes de probabilidad constante p.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Completa una tabla de cuatro regiones con las probabilidades del primer ejemplo y verifica ambos métodos para calcular ninguno: complemento de la unión y producto de complementarios.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.