Calcular distancias, ángulos y proyecciones en el espacio usando normales y directores adecuados.
Míralo en un dibujo
El segmento desde P hasta su proyección H sobre la recta se dibuja perpendicular. Ese segmento proporciona la distancia mínima, no cualquier segmento oblicuo.
Antes de seguir: ¿Qué condición debe verificar el vector PH?
Comprueba tu razonamiento
Ser perpendicular al vector director de la recta; su producto escalar debe ser cero.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Vectores; Sistemas lineales; Producto escalar.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Dirección del segmento mínimo a un plano?
La normal.
En un minuto
- La normal.
- Pertenecer al objeto y tener separación perpendicular.
- Escribirlos con el mismo vector normal.
- Para obtener distancias no negativas y ángulos menores cuando se solicitan.
Entiende la idea
El concepto
La distancia de un punto a un plano es la longitud del segmento perpendicular al plano. Si el plano es ax+by+cz+d=0, se evalúa la expresión en el punto, se toma valor absoluto y se divide por el módulo del normal. Sin ese denominador, el resultado cambia al multiplicar la ecuación del mismo plano por una constante y no puede ser una distancia geométrica.
La proyección ortogonal de un punto P sobre el plano se obtiene restando a P su componente de separación en la dirección normal. Para una recta definida por Q y director v, la proyección se obtiene con el parámetro t=[(P−Q)·v]/|v|². La distancia punto-recta también puede calcularse como |(P−Q)×v|/|v|, área de un paralelogramo dividida por su base.
Cómo utilizarlo sin errores
Los ángulos dependen de los objetos. Entre rectas se comparan directores con coseno; entre planos, normales con coseno; entre recta y plano, el ángulo es complementario al formado por el director y el normal, por lo que aparece un seno. Habitualmente se pide el menor ángulo y se utiliza valor absoluto.
La distancia entre planos paralelos exige escribirlos con los mismos coeficientes normales. Para rectas que se cruzan, la distancia puede obtenerse proyectando el vector entre puntos sobre una dirección perpendicular a ambos directores. Si los directores son paralelos, esa fórmula tiene denominador cero y se usa otra, como punto-recta. Comprobar la posición relativa antes de aplicar una fórmula evita divisiones inválidas.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
d(P,π)=|n·P+d|/|n|. Proy_π(P)=P−[(n·P+d)/|n|²]n. d(P,r)=|(P−Q)×v|/|v|. senθ_recta-plano=|v·n|/(|v||n|).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Calcula distancia y proyección de P=(1,2,3) sobre 2x−y+2z−1=0.
- n=(2,−1,2), |n|=3 y la evaluación es 2−2+6−1=5. La distancia es 5/3.
- La proyección es P−(5/9)n=(−1/9,23/9,17/9).
- Sustituyendo en el plano: −2/9−23/9+34/9−1=0. El desplazamiento de P a su proyección es paralelo al normal.
Ejemplo 2 · Calcula el ángulo de una recta de director (1,0,1) con el plano z=0.
- El normal del plano es n=(0,0,1). El producto escalar es 1 y los módulos √2 y 1.
- Para recta-plano, senθ=1/√2.
- El menor ángulo es 45°. Se usa seno porque el normal es perpendicular al plano, no un vector contenido en él.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Halla la distancia de P=(1,0,1) a la recta r=t(1,1,0).
Primera ayuda
Proyecta P sobre el director.
Ver solución razonada
t=(P·v)/|v|²=1/2. La proyección es (1/2,1/2,0). La distancia es √[(1/2)²+(−1/2)²+1²]=√(3/2).
Práctica 2 · Halla distancia entre 2x−y+2z−1=0 y 2x−y+2z+5=0.
Primera ayuda
Los coeficientes normales ya coinciden.
Ver solución razonada
La distancia es |5−(−1)|/√(4+1+4)=6/3=2.
Práctica 3 · Calcula distancia entre r=(t,0,0) y s=(0,1,u).
Primera ayuda
Un segmento perpendicular a ambas une (0,0,0) con (0,1,0).
Ver solución razonada
La distancia es 1. También se obtiene con |(Q−P)·(v×w)|/|v×w|, usando v=(1,0,0), w=(0,0,1).
El error que debes evitar
No usar coseno para el ángulo recta-plano sin tomar el complementario. No olvidar normalizar. No aplicar una fórmula de rectas cruzadas a directores paralelos.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Ángulo recta-plano usa el director y el normal mediante…
Solución y explicación
Respuesta: Seno del ángulo buscado. El ángulo con el normal es complementario.
Para distancia punto-plano se divide por…
Solución y explicación
Respuesta: El módulo del normal. Así el resultado no depende de escalar la ecuación del plano.
La fórmula de distancia entre rectas con v×w en el denominador…
Solución y explicación
Respuesta: Exige v×w≠0. Las rectas paralelas necesitan otra expresión.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Dirección del segmento mínimo a un plano?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La normal.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué debe cumplir una proyección calculada?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Pertenecer al objeto y tener separación perpendicular.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo comparar dos planos paralelos antes de medir?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Escribirlos con el mismo vector normal.
Intenta responder antes de mirar.
¿Por qué aparecen valores absolutos?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Para obtener distancias no negativas y ángulos menores cuando se solicitan.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Obtén por dos métodos la distancia punto-recta del primer ejercicio: proyección y producto vectorial, y verifica que coinciden.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.