Formular problemas de optimización, delimitar el dominio y justificar extremos absolutos.
Míralo en un dibujo
En el dominio 0≤x≤4 se dibuja f(x)=−(x−2)²+4. El máximo absoluto es 4 en x=2; también se comparan los extremos del intervalo.
Antes de seguir: ¿Basta con resolver f′(x)=0 para justificar el máximo absoluto?
Comprueba tu razonamiento
No. También deben comprobarse el dominio, puntos no derivables si existen y extremos de la región admisible.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Reglas de derivación; Dominio y continuidad; Resolución de ecuaciones.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Primer paso de optimización?
Definir objetivo, variables y restricciones.
En un minuto
- Definir objetivo, variables y restricciones.
- Fronteras, puntos no derivables y admisibilidad.
- Deben compararse opciones enteras, no aceptar automáticamente el óptimo continuo.
- Comparando con todo el dominio o justificando monotonía y límites.
Entiende la idea
El concepto
Optimizar consiste en encontrar el mayor o menor valor de una magnitud bajo restricciones. El paso decisivo no es derivar, sino traducir el contexto a una función objetivo y un dominio admisible. Las variables pueden estar relacionadas por una longitud, volumen, coste u otra condición que permita expresar todo en una sola variable.
Una vez definida la función, se localizan candidatos mediante derivadas o puntos no derivables. Después se comprueba si son máximos o mínimos y se comparan con fronteras del dominio cuando corresponde. Si el dominio es abierto, puede haber un supremo no alcanzado; no debe presentarse como una configuración disponible. Las unidades de la variable y del objetivo ayudan a detectar ecuaciones mal planteadas.
Cómo utilizarlo sin errores
Las restricciones pueden cambiar el óptimo. Un punto crítico algebraico fuera del intervalo físico no se utiliza. Si solo se permiten cantidades enteras, se comparan los enteros admisibles cercanos y se revisan las fronteras; no se redondea sin comprobar. Las soluciones de un modelo ideal no incluyen automáticamente todas las limitaciones de una construcción real.
La justificación final debe responder con la magnitud pedida: dimensiones, valor máximo, coste mínimo u otra salida. No basta entregar la abscisa donde la derivada se anula. En esta lección se usan figuras y modelos ficticios sin pérdidas ni espesores cuando así se indica. La calidad del razonamiento se aprecia al explicar por qué no existe otra opción admisible que mejore el resultado.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Optimización: restricciones → función de una variable → dominio → candidatos → comparación → interpretación. Un punto crítico fuera del dominio se descarta.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Se dispone de 40 m de valla para tres lados de un rectángulo, con el cuarto apoyado en una pared. Maximiza el área.
- Sea x la longitud de cada lado perpendicular y y el lado paralelo vallado. 2x+y=40, luego y=40−2x y 0<x<20.
- A(x)=x(40−2x)=40x−2x². A′=40−4x se anula en x=10 y A″=−4<0.
- El área tiende a cero en los extremos y el máximo es x=10, y=20, A=200 m². No se usó la restricción de cuatro lados.
Ejemplo 2 · Una caja abierta se obtiene recortando cuadrados de lado x de una lámina cuadrada de 12 cm. Maximiza el volumen ideal.
- V=x(12−2x)², con 0<x<6. La derivada es (12−2x)(12−6x).
- Los candidatos son x=2 y x=6, pero 6 es frontera degenerada. En (0,2) V′>0 y en (2,6) V′<0.
- El máximo se alcanza en x=2 cm: base 8×8 cm, altura 2 cm y volumen 128 cm³.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Entre rectángulos de perímetro 20, encuentra el de área máxima.
Primera ayuda
Expresa y=10−x.
Ver solución razonada
A=x(10−x), con 0<x<10. A′=10−2x da x=5, y=5. Es un cuadrado de área 25, con derivada que cambia de + a −.
Práctica 2 · Minimiza f(x)=x²+4/x para x>0.
Primera ayuda
Deriva y verifica el cambio de signo.
Ver solución razonada
f′=2x−4/x²=(2x³−4)/x². Se anula en x=∛2. Es negativa antes y positiva después, por lo que es mínimo global; f=3·2^(2/3).
Práctica 3 · Un beneficio B(q)=−q²+9q−5 se define para q entero entre 0 y 8. Halla el máximo.
Primera ayuda
El vértice continuo está en 4,5; compara enteros vecinos.
Ver solución razonada
B(4)=15 y B(5)=15. Ambos maximizan en el dominio entero. Redondear sin comparar ocultaría que existen dos soluciones óptimas.
El error que debes evitar
No confundir valla de tres lados con perímetro completo. No omitir unidades. No entregar un volumen cero de una caja degenerada como óptimo por anular la derivada.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
El dominio en optimización se obtiene…
Solución y explicación
Respuesta: De la fórmula y de las restricciones. La interpretación puede limitar más que el dominio algebraico.
Un punto crítico fuera del dominio físico…
Solución y explicación
Respuesta: Se descarta como solución admisible. La optimización solo considera configuraciones permitidas.
Una respuesta completa debe incluir…
Solución y explicación
Respuesta: Configuración, valor y justificación. Hay que responder a lo que realmente pide el problema.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Primer paso de optimización?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Definir objetivo, variables y restricciones.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué revisar además de f′=0?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Fronteras, puntos no derivables y admisibilidad.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué cambia si las cantidades son enteras?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Deben compararse opciones enteras, no aceptar automáticamente el óptimo continuo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo distinguir máximo local y global?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Comparando con todo el dominio o justificando monotonía y límites.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Resuelve el problema de la caja con lámina cuadrada de lado L simbólico y comprueba que el recorte óptimo es L/6 bajo el mismo modelo ideal.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.