Estudiar asíntotas y empalmes de funciones a trozos sin confundir huecos con divergencias.
Míralo en un dibujo
Se representa y=1/(x−1)+1, con asíntota vertical x=1 y horizontal y=1. La función no está definida en x=1.
Antes de seguir: ¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende a +∞?
Comprueba tu razonamiento
Es 1: el término 1/(x−1) tiende a cero.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Límites laterales; Factorización; Derivación básica.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Cómo detectar una oblicua racional habitual?
Mediante división de polinomios y resto que tienda a cero.
En un minuto
- Mediante división de polinomios y resto que tienda a cero.
- Pueden tener comportamientos diferentes.
- No: su límite es finito.
- Compatibilidad de pendientes laterales.
Entiende la idea
El concepto
Una asíntota vertical x=a aparece cuando algún límite lateral de la función en a es infinito. Que un denominador se anule no basta: puede cancelarse un factor y quedar un límite finito. Un punto excluido con límite finito es un hueco o discontinuidad evitable, no una asíntota vertical.
Una asíntota horizontal y=L describe el comportamiento cuando x tiende a más o menos infinito y f(x) tiende a L. Cada extremo del dominio debe estudiarse por separado: puede haber horizontales distintas a derecha e izquierda. Una función puede cruzar su asíntota horizontal; la definición se refiere al comportamiento lejano, no a una prohibición de intersección.
Cómo utilizarlo sin errores
Una asíntota oblicua y=mx+n, con m distinto de cero, satisface f(x)−(mx+n)→0. Para funciones racionales cuya diferencia de grados es uno, la división de polinomios suele obtenerla directamente. En general pueden calcularse m=lim f(x)/x y n=lim[f(x)−mx], siempre que existan los límites finitos apropiados.
Las funciones a trozos requieren seleccionar la expresión correcta en cada límite. En un punto de unión, continuidad y derivabilidad son condiciones distintas. Para derivabilidad se necesita continuidad y coincidencia de derivadas laterales, cuando estas se calculan correctamente. Ajustar parámetros para que dos gráficas se toquen en valor no garantiza que compartan pendiente. Este estudio prepara la representación global y evita asignar a una rama comportamientos que pertenecen a otra.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Vertical: algún limₓ→ₐ±f=±∞. Horizontal: limₓ→±∞f=L. Oblicua: lim[f−(mx+n)]=0. Empalme derivable: valor y pendientes compatibles.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Estudia las asíntotas de f(x)=(2x²+x+1)/(x−1).
- El numerador en x=1 vale 4, por lo que no se cancela el denominador: hay asíntota vertical x=1.
- La división da f(x)=2x+3+4/(x−1). El último término tiende a cero en ambos infinitos.
- La asíntota oblicua es y=2x+3. Cerca de x=1, el término 4/(x−1) da −∞ por la izquierda y +∞ por la derecha.
Ejemplo 2 · Sea f(x)=eˣ si x≤0 y ax+b si x>0. Impón continuidad y derivabilidad en 0.
- El valor y límite izquierdo son e⁰=1; el derecho es b. Continuidad exige b=1.
- La derivada izquierda es e⁰=1 y la derecha es a. Derivabilidad exige a=1.
- Con a=b=1 el empalme es continuo y tiene pendiente común; si solo b=1, podría quedar una esquina.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Estudia x=1 en (x²−1)/(x−1).
Primera ayuda
Factoriza antes de clasificar.
Ver solución razonada
Para x≠1 la expresión es x+1 y el límite es 2. Hay un hueco si no se define el punto, no una asíntota vertical.
Práctica 2 · Calcula las horizontales de f(x)=x/√(x²+1) en ±∞.
Primera ayuda
Usa √(x²)=|x|.
Ver solución razonada
En +∞, f→1; en −∞, f→−1. Las horizontales son y=1 a derecha e y=−1 a izquierda.
Práctica 3 · Para f(x)=x² si x≤1 y ax+b si x>1, encuentra a,b para que sea derivable en 1.
Primera ayuda
Primero valor, después pendiente.
Ver solución razonada
Continuidad: a+b=1. Derivadas: a=2. Por tanto b=−1, y la rama derecha es 2x−1.
El error que debes evitar
No sustituir |x| por x en el infinito negativo. No imponer solo una ecuación para continuidad y derivabilidad. No afirmar que una asíntota nunca se cruza.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Denominador cero implica asíntota vertical…
Solución y explicación
Respuesta: No: hay que calcular el límite. Una cancelación puede producir un límite finito.
Una función puede cruzar una horizontal asintótica…
Solución y explicación
Respuesta: Sí. La condición se refiere al límite lejano.
Igualar valores de dos ramas garantiza…
Solución y explicación
Respuesta: Continuidad si coinciden también con el valor asignado. La pendiente exige otra condición.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Cómo detectar una oblicua racional habitual?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Mediante división de polinomios y resto que tienda a cero.
Intenta responder antes de mirar.
¿Por qué estudiar +∞ y −∞ separados?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Pueden tener comportamientos diferentes.
Intenta responder antes de mirar.
¿Un hueco es una asíntota vertical?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No: su límite es finito.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué añade derivabilidad a continuidad en un empalme?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Compatibilidad de pendientes laterales.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Esboza la primera función usando división, límites laterales y una tabla de valores; separa lo demostrado de lo que solo sugiere el dibujo.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.