Comprobar continuidad y utilizar Bolzano y el teorema de los valores extremos con sus hipótesis.
Míralo en un dibujo
La función continua f(x)=x²−2 cambia de signo entre 1 y 2. El teorema de Bolzano garantiza una raíz en (1,2), aquí √2.
Antes de seguir: ¿Bolzano dice que la raíz sea única?
Comprueba tu razonamiento
No. Garantiza al menos una. La unicidad requiere una justificación adicional, como monotonía estricta.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Límites laterales; Factorización; Derivación básica.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Tres requisitos de continuidad puntual?
Valor definido, límite existente e igualdad entre ambos.
En un minuto
- Valor definido, límite existente e igualdad entre ambos.
- Asignar el valor del límite en el punto.
- Monotonía estricta, junto con existencia.
- No: el máximo debe alcanzarse.
Entiende la idea
El concepto
Una función es continua en a cuando está definida allí, existe el límite al aproximarse a a dentro del dominio y ese límite coincide con f(a). En una función a trozos se comparan los límites laterales y el valor asignado. Cambiar un único valor puede reparar una discontinuidad evitable, pero no un salto cuyos laterales sean distintos.
El teorema de Bolzano afirma que una función continua en un intervalo cerrado [a,b] con valores de signo opuesto en los extremos tiene al menos una raíz en el interior. No indica cuántas raíces hay ni su posición exacta. Para demostrar unicidad hace falta información adicional, como monotonía estricta en el intervalo.
Cómo utilizarlo sin errores
La continuidad también garantiza la propiedad de los valores intermedios: la función toma los valores comprendidos entre dos de sus valores. No autoriza a concluir que una función discontinua no pueda tener raíces; simplemente el teorema no puede aplicarse sin sus hipótesis. Un argumento correcto distingue ausencia de garantía y ausencia de resultado.
El teorema de los valores extremos, o de Weierstrass, asegura que una función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza un máximo y un mínimo absolutos. Si el intervalo es abierto o la función no es continua, esa garantía puede fallar. Al resolver ejercicios, escribe primero dominio e hipótesis, después la conclusión exacta. Nombrar un teorema sin justificar dónde se aplica no sustituye el razonamiento.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Continuidad en a: limₓ→ₐf(x)=f(a). Bolzano: continua en [a,b] y f(a)f(b)<0 → raíz en (a,b). Continua en compacto → alcanza extremos.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Sea f(x)=(x²−1)/(x−1) si x≠1 y f(1)=a. Determina continuidad en x=1.
- Para x≠1, f(x)=x+1, por lo que los dos laterales en 1 valen 2.
- La continuidad exige que el valor asignado coincida: a=2.
- Si a≠2, la discontinuidad es evitable mediante la redefinición del único valor f(1).
Ejemplo 2 · Demuestra que x³+x−1 tiene una única raíz en (0,1).
- El polinomio es continuo en [0,1]. Sus valores son f(0)=−1 y f(1)=1: Bolzano garantiza al menos una raíz interior.
- Su derivada es 3x²+1>0 para todo x, así que es estrictamente creciente.
- No puede cortar dos veces el nivel cero: la raíz es única. La unicidad no procedía de Bolzano por sí solo.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · ¿Puede aplicarse Bolzano a f(x)=1/x en [−1,1] por tener valores de signo opuesto?
Primera ayuda
Comprueba continuidad en todo el intervalo.
Ver solución razonada
No. f no está definida en cero y no es continua en el intervalo. De hecho no tiene ninguna raíz, lo que muestra la importancia de la hipótesis.
Práctica 2 · ¿Alcanza f(x)=x un máximo en (0,1)? ¿Y en [0,1]?
Primera ayuda
Distingue supremo y valor alcanzado.
Ver solución razonada
En (0,1) no alcanza máximo: 1 es supremo, pero no pertenece a los valores obtenidos. En [0,1] alcanza máximo 1 en x=1 y mínimo 0 en x=0.
Práctica 3 · Una función a trozos tiene límite izquierdo 2, derecho 3 y f(a)=2. ¿Puede hacerse continua cambiando solo f(a)?
Primera ayuda
Compara los laterales.
Ver solución razonada
No. Los laterales son distintos y no existe un límite bilateral; cambiar un único valor no elimina el salto.
El error que debes evitar
No aplicar Bolzano atravesando una asíntota. No atribuir unicidad al cambio de signo. No confundir valor límite con máximo alcanzado en un extremo excluido.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Bolzano garantiza…
Solución y explicación
Respuesta: Al menos una raíz bajo sus hipótesis. La unicidad requiere un argumento adicional.
Si un teorema no es aplicable…
Solución y explicación
Respuesta: Solo falta esa garantía. La conclusión podría ser cierta por otras razones.
Weierstrass exige aquí…
Solución y explicación
Respuesta: Continuidad en un intervalo cerrado y acotado. Así se garantiza alcanzar extremos absolutos.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Tres requisitos de continuidad puntual?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Valor definido, límite existente e igualdad entre ambos.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué repara una discontinuidad evitable?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Asignar el valor del límite en el punto.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué puede demostrar unicidad de una raíz?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Monotonía estricta, junto con existencia.
Intenta responder antes de mirar.
¿Máximo y supremo son siempre lo mismo?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No: el máximo debe alcanzarse.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Aplica dos pasos de bisección a x³+x−1 en [0,1], indicando qué subintervalo conserva el cambio de signo en cada paso.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.