Aplicar Rouché–Frobenius comparando rangos de la matriz de coeficientes y la ampliada.
Míralo en un dibujo
Si rg(A)≠rg(A|b), el sistema es incompatible. Si son iguales al número n de incógnitas, hay solución única. Si coinciden y son menores que n, hay infinitas soluciones.
Antes de seguir: ¿Qué ocurre si la ampliada tiene mayor rango?
Comprueba tu razonamiento
El sistema es incompatible: alguna ecuación añade una contradicción con las anteriores.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Matrices; Eliminación de Gauss; Determinantes.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué compara Rouché–Frobenius?
Rangos de coeficientes y ampliada.
En un minuto
- Rangos de coeficientes y ampliada.
- Rangos iguales al número de incógnitas.
- Existencia de la solución cero.
- No en un sistema no homogéneo; falta examinar b.
Entiende la idea
El concepto
El teorema de Rouché–Frobenius establece que un sistema lineal es compatible si y solo si la matriz de coeficientes y la ampliada tienen el mismo rango. Si el rango común coincide con el número de incógnitas, la solución es única. Si es menor, hay infinitas soluciones parametrizadas por tantas variables libres como la diferencia entre incógnitas y rango.
El criterio permite separar existencia y unicidad. Un determinante no nulo de una matriz cuadrada de coeficientes garantiza ambos, pero un determinante cero no distingue entre ninguna solución e infinitas: hay que examinar la columna de términos independientes. Tampoco debe confundirse número de ecuaciones con rango; varias pueden ser redundantes.
Cómo utilizarlo sin errores
Los rangos pueden obtenerse por menores o por eliminación. En la ampliada, añadir una sola columna aumenta el rango como máximo en uno. Una fila de ceros en A acompañada de un término independiente no nulo revela directamente que el rango ampliado es mayor y que hay incompatibilidad.
En sistemas homogéneos b=0, siempre existe la solución cero. Si el rango es menor que el número de incógnitas, existen además soluciones no triviales. Para matrices cuadradas homogéneas, det(A)=0 equivale a la existencia de soluciones distintas de cero. Al discutir parámetros conviene presentar casos con sus rangos y conclusiones, no limitarse a escribir valores excepcionales sin analizarlos.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
rango(A)=rango([A|b]) → compatible. Rango común=n → única. Rango común<n → infinitas. Rangos distintos → incompatible.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Discute x+y=2; x+ay=b según a y b.
- La matriz A=[1,1;1,a] tiene determinante a−1. Si a≠1, rango A=rango ampliada=2 y hay solución única.
- Si a=1 y b=2, ambas ecuaciones coinciden: los dos rangos son 1 y hay infinitas soluciones.
- Si a=1 y b≠2, al restar aparece 0=b−2: rango A=1 y ampliada=2, por lo que no hay solución.
Ejemplo 2 · Un sistema homogéneo tiene cuatro incógnitas y rango de coeficientes 2. Describe sus soluciones.
- Al ser homogéneo, la columna cero no aumenta el rango: ambos rangos son 2.
- Es compatible indeterminado, con 4−2=2 parámetros libres.
- La solución cero existe, pero no es la única. No hacen falta cuatro ecuaciones independientes para que el sistema esté bien definido.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Una matriz A de 3 incógnitas tiene rango 2 y su ampliada rango 3. Clasifica.
Primera ayuda
Compara existencia antes de contar parámetros.
Ver solución razonada
Es incompatible. No tiene sentido decir que hay un parámetro libre, porque los rangos no coinciden.
Práctica 2 · Un sistema tiene 5 ecuaciones, 3 incógnitas y ambos rangos 3. Clasifica.
Primera ayuda
El número de incógnitas determina la unicidad.
Ver solución razonada
Es compatible determinado: solución única. Algunas ecuaciones pueden ser redundantes.
Práctica 3 · Para Ax=0 con A cuadrada y det(A)≠0, ¿qué solución existe?
Primera ayuda
A es invertible.
Ver solución razonada
Solo x=0. Multiplicando por A⁻¹ se obtiene directamente la solución trivial.
El error que debes evitar
No contar parámetros antes de verificar compatibilidad. No sustituir rango por número de ecuaciones. No dejar sin resolver los casos de determinante cero.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Det(A)=0 en un sistema cuadrado no homogéneo…
Solución y explicación
Respuesta: Requiere comparar con la ampliada. La columna b distingue compatibilidad de incompatibilidad.
Un sistema homogéneo…
Solución y explicación
Respuesta: Siempre tiene al menos la solución cero. Solo tiene infinitas si faltan pivotes respecto a incógnitas.
El número de parámetros en un compatible es…
Solución y explicación
Respuesta: Incógnitas menos rango común. Cada variable no principal puede actuar como libre.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué compara Rouché–Frobenius?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Rangos de coeficientes y ampliada.
Intenta responder antes de mirar.
¿Condición de solución única?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Rangos iguales al número de incógnitas.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué garantiza ser homogéneo?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Existencia de la solución cero.
Intenta responder antes de mirar.
¿Determinante cero basta para clasificar?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No en un sistema no homogéneo; falta examinar b.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Construye dos sistemas con la misma matriz singular A=[1,1;2,2] y columnas independientes diferentes: uno compatible y otro incompatible.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.