Resolver sistemas por eliminación de Gauss y expresar soluciones únicas, infinitas o inexistentes.
Míralo en un dibujo
El sistema x+y=3, 2x+y=4 se transforma usando F₂−2F₁: la segunda fila pasa a −y=−2. De ahí y=2 y x=1.
Antes de seguir: ¿Qué debe conservar una operación elemental de filas?
Comprueba tu razonamiento
El conjunto de soluciones del sistema, aunque cambien sus ecuaciones.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Matrices; Eliminación de Gauss; Determinantes.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué operaciones conserva Gauss?
Operaciones elementales equivalentes sobre ecuaciones completas.
En un minuto
- Operaciones elementales equivalentes sobre ecuaciones completas.
- El término independiente de cada fila.
- Una incógnita sin pivote que se usa como parámetro.
- Sustituyendo en las ecuaciones originales.
Entiende la idea
El concepto
Un sistema lineal reúne ecuaciones de primer grado en las incógnitas. Puede representarse con su matriz de coeficientes A y una columna de términos independientes b. La matriz ampliada [A|b] permite aplicar operaciones elementales que conservan el conjunto de soluciones: intercambiar ecuaciones, multiplicar una por un número no nulo y sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
La eliminación de Gauss produce una forma escalonada. Cada pivote identifica una incógnita principal y permite eliminar coeficientes por debajo. Después se usa sustitución hacia atrás. No es imprescindible normalizar todos los pivotes a uno, y conservar enteros cuando sea posible puede reducir errores con fracciones.
Cómo utilizarlo sin errores
Una fila de ceros en coeficientes con término independiente no nulo expresa una contradicción, como 0=3: el sistema es incompatible. Una fila completamente nula es una ecuación redundante, no una contradicción. Si faltan pivotes respecto al número de incógnitas y no hay incompatibilidad, aparecen variables libres que deben parametrizarse.
Una solución paramétrica describe todo el conjunto de soluciones, no solo un ejemplo particular. Hay que dar el dominio de los parámetros, normalmente todos los reales, y verificar que cualquier valor produce una solución del sistema original. Cuando hay parámetros en los coeficientes, una operación que divide por ellos puede perder casos; la discusión de esos valores requiere separarlos antes. La comprobación por sustitución en las ecuaciones originales es especialmente útil para detectar cambios de signo.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Ax=b ↔ matriz ampliada [A|b]. Fila [0,…,0|c], c≠0: contradicción. Variables libres=incógnitas−pivotes si el sistema es compatible.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Resuelve x+y+z=6; 2x−y+z=3; x+2y−z=2.
- Con R₂←R₂−2R₁ y R₃←R₃−R₁ aparecen −3y−z=−9 e y−2z=−4.
- Sumando tres veces la segunda de estas a la primera: −7z=−21, de donde z=3.
- Entonces y−6=−4 da y=2 y x=6−2−3=1. Sustituir (1,2,3) verifica las tres ecuaciones.
Ejemplo 2 · Resuelve x+y+z=2; 2x+2y+2z=4; x−y=0.
- La segunda ecuación es el doble de la primera y no añade restricción.
- De la tercera, x=y. Tomamos x=y=t, con t real.
- La primera da z=2−2t. Todas las soluciones son (t,t,2−2t), no solo la obtenida eligiendo t=0.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Discute x+y=1; 2x+2y=3.
Primera ayuda
Resta dos veces la primera de la segunda.
Ver solución razonada
Se obtiene 0=1. Es incompatible y no tiene solución.
Práctica 2 · Resuelve 2x+y=5; x−y=1.
Primera ayuda
Suma ecuaciones para eliminar y.
Ver solución razonada
3x=6, x=2; y=x−1=1. La solución es única.
Práctica 3 · Expresa todas las soluciones de x+2y−z=0.
Primera ayuda
Elige dos variables libres.
Ver solución razonada
Tomando y=s y z=t, queda x=−2s+t. Soluciones (−2s+t,s,t), con s,t reales.
El error que debes evitar
No operar coeficientes olvidando la columna ampliada. No confundir fila nula con contradicción. No presentar un único punto como todas las soluciones de un sistema indeterminado.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Una fila completamente nula indica…
Solución y explicación
Respuesta: Ecuación redundante. No añade restricciones, pero hay que revisar las demás filas.
0=5 en la matriz escalonada implica…
Solución y explicación
Respuesta: Ninguna solución. Es una contradicción.
Elegir valores concretos de parámetros…
Solución y explicación
Respuesta: Da una solución particular. El conjunto completo requiere permitir todos los valores admisibles.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué operaciones conserva Gauss?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Operaciones elementales equivalentes sobre ecuaciones completas.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué debe transformarse junto a coeficientes?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El término independiente de cada fila.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué es una variable libre?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Una incógnita sin pivote que se usa como parámetro.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo verificar una solución?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Sustituyendo en las ecuaciones originales.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Comprueba la familia del segundo ejemplo con t=−1,0 y 2, y explica por qué tres comprobaciones no sustituyen la justificación simbólica para cualquier t.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.