Calcular rango e inversas y distinguir singularidad de dependencia entre filas o columnas.
Míralo en un dibujo
Para A=[[2,1],[1,3]], A⁻¹=(1/5)[[3,−1],[−1,2]]. Su producto es la identidad de orden 2.
Antes de seguir: ¿Cómo comprobarías una inversa calculada?
Comprueba tu razonamiento
Multiplicándola por la matriz original: el resultado debe ser la identidad.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Sistemas lineales; Operaciones con signos; Vectores.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué cuenta el rango?
El máximo de filas o columnas independientes.
En un minuto
- El máximo de filas o columnas independientes.
- Rango completo e inversibilidad.
- Transformar [A|I] en [I|A⁻¹].
- Separar los valores que hacen cero el divisor.
Entiende la idea
El concepto
El rango de una matriz es el número máximo de filas o columnas linealmente independientes; ambos valores coinciden. Puede calcularse mediante eliminación contando pivotes o mediante menores: es el mayor orden de un menor no nulo. El rango nunca supera el menor de los números de filas y columnas.
En una matriz cuadrada de orden n, determinante distinto de cero implica rango n e inversibilidad. Si el determinante vale cero, solo sabemos que el rango es menor que n: hay que continuar comprobando menores o pivotes para precisar cuánto. Una matriz de orden tres singular puede tener rango dos, uno o cero.
Cómo utilizarlo sin errores
La inversa A⁻¹ satisface AA⁻¹=A⁻¹A=I. En orden dos se obtiene con la fórmula que intercambia entradas diagonales, cambia signo a las otras y divide por el determinante. En cualquier orden puede usarse Gauss–Jordan sobre [A|I] hasta convertir la parte izquierda en identidad. Si no puede obtenerse esa identidad, A no es invertible.
Las ecuaciones matriciales se resuelven manteniendo el lado correcto de multiplicación. De AX=B se deduce X=A⁻¹B si A es invertible; de XA=B, X=BA⁻¹. No son expresiones intercambiables. Después de hallar una inversa o una solución, multiplicar de nuevo permite verificar el resultado. Las operaciones con parámetros requieren separar antes los valores para los que el determinante se anula, sin dividir por expresiones que podrían ser cero.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
A⁻¹=(1/(ad−bc))[d,−b;−c,a] en 2×2 si ad−bc≠0. rango(A)=número de pivotes. AX=B → X=A⁻¹B.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Halla la inversa de A=[2,1;1,1] y compruébala.
- det(A)=2·1−1·1=1, luego A⁻¹=[1,−1;−1,2].
- AA⁻¹=[2−1,−2+2;1−1,−1+2]=[1,0;0,1].
- El producto es la identidad, por lo que la inversa queda verificada.
Ejemplo 2 · Discute el rango de A=[1,1,1;1,a,1;1,1,a].
- Restando la primera fila a la segunda y tercera quedan [1,1,1;0,a−1,0;0,0,a−1].
- Si a≠1 hay tres pivotes y det(A)=(a−1)²≠0: rango 3.
- Si a=1, las tres filas originales son iguales y no nulas: rango 1, no 2 por el mero hecho de ser singular.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Halla rango de [1,2,3;2,4,6;0,1,1].
Primera ayuda
La segunda fila depende de la primera; compara la tercera.
Ver solución razonada
La segunda es el doble de la primera. La tercera no es múltiplo de la primera, así que el rango es 2.
Práctica 2 · Resuelve AX=B con A=[2,1;1,1] y B=[3;2].
Primera ayuda
Utiliza la inversa del ejemplo a la izquierda.
Ver solución razonada
X=[1,−1;−1,2][3;2]=[1;1]. Comprobación: A[1;1]=[3;2].
Práctica 3 · ¿Tiene inversa [1,2;2,4]? ¿Cuál es su rango?
Primera ayuda
Calcula determinante y observa dependencia.
Ver solución razonada
det=4−4=0: no tiene inversa. La segunda fila es el doble de la primera no nula, por lo que rango=1.
El error que debes evitar
No concluir rango n−1 solo por det=0. No cambiar el orden al despejar matrices. No aplicar la fórmula de inversa con determinante nulo.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Determinante cero en orden tres implica…
Solución y explicación
Respuesta: Rango menor que tres. Se necesita más información para precisar el rango.
Para XA=B, con A invertible, X es…
Solución y explicación
Respuesta: BA⁻¹. Se multiplica por A⁻¹ a la derecha.
La inversa debe comprobarse obteniendo…
Solución y explicación
Respuesta: La identidad. El producto de una matriz por su inversa es I.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué cuenta el rango?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El máximo de filas o columnas independientes.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué indica det(A)≠0 en una cuadrada?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Rango completo e inversibilidad.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo usar Gauss–Jordan para la inversa?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Transformar [A|I] en [I|A⁻¹].
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué hacer antes de dividir por un parámetro?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Separar los valores que hacen cero el divisor.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Calcula A⁻¹B y BA⁻¹ para dos matrices cuadradas no conmutativas y explica cuál resuelve cada tipo de ecuación.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.