Calcular determinantes y utilizar sus propiedades sin confundirlos con matrices.
Míralo en un dibujo
Para A=[[2,1],[1,3]], det(A)=2·3−1·1=5. Como no es cero, la matriz es invertible.
Antes de seguir: ¿Qué impediría la inversión de una matriz cuadrada?
Comprueba tu razonamiento
Que su determinante fuese cero. En ese caso, sus filas o columnas serían linealmente dependientes.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Sistemas lineales; Operaciones con signos; Vectores.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué distingue menor y cofactor?
El factor de signo (−1)ⁱ⁺ʲ.
En un minuto
- El factor de signo (−1)ⁱ⁺ʲ.
- Producto de la diagonal principal.
- Cambia el signo.
- Multiplica el determinante por kⁿ.
Entiende la idea
El concepto
El determinante asigna un número a una matriz cuadrada. En dimensión dos se calcula ad−bc. En dimensión tres puede desarrollarse por una fila o columna mediante menores y signos alternos. La regla de Sarrus es un recurso exclusivo para matrices 3×3, no un patrón que se prolongue correctamente a cualquier tamaño.
Los menores se obtienen al eliminar una fila y una columna. El cofactor añade el signo (−1)ⁱ⁺ʲ. Elegir una fila o columna con muchos ceros reduce el cálculo. El determinante de una matriz triangular es el producto de las entradas diagonales, lo que convierte la eliminación en una herramienta útil si se registran los efectos de cada operación elemental.
Cómo utilizarlo sin errores
Intercambiar dos filas cambia el signo del determinante. Multiplicar una fila por k multiplica el determinante por k. Sumar a una fila un múltiplo de otra no lo modifica. Si una fila es nula o dos filas son proporcionales, el determinante vale cero. Para una matriz n×n, det(kA)=kⁿdet(A), porque se multiplican todas las filas.
El determinante detecta inversibilidad: una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. También aparece en áreas, volúmenes y discusión de sistemas. No debe tratarse como una matriz: det(A+B) no es en general det(A)+det(B), aunque sí se cumple det(AB)=det(A)det(B). Una propiedad memorizada debe aplicarse exactamente en la operación a la que corresponde.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
det([a,b;c,d])=ad−bc. Cᵢⱼ=(−1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ. det(AB)=det(A)det(B). det(kA)=kⁿdet(A).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Calcula det([1,2,0;0,3,1;2,0,1]) desarrollando por la primera fila.
- El primer menor vale 3·1−1·0=3. El segundo vale 0·1−1·2=−2.
- Con signos +,−,+: det=1·3−2(−2)+0=7.
- El signo del cofactor y el del menor son independientes; restar un menor negativo produce una suma.
Ejemplo 2 · Una matriz A de orden 3 tiene det(A)=5. ¿Qué ocurre al intercambiar dos filas y multiplicar después toda la matriz por 2?
- El intercambio cambia el determinante a −5.
- Multiplicar las tres filas por 2 multiplica el determinante por 2³=8.
- El resultado es −40, no −10.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Calcula det([2,1;5,3]) y decide si es invertible.
Primera ayuda
Usa ad−bc.
Ver solución razonada
2·3−1·5=1. Es invertible porque el determinante no es cero.
Práctica 2 · Calcula el determinante de [2,4,1;0,−1,3;0,0,3].
Primera ayuda
Es triangular superior.
Ver solución razonada
El producto diagonal es 2·(−1)·3=−6.
Práctica 3 · Si det(A)=3 y det(B)=−2, calcula det(AB) y explica por qué no puedes deducir det(A+B).
Primera ayuda
Usa solo la propiedad que corresponde al producto.
Ver solución razonada
det(AB)=−6. Los determinantes individuales no determinan en general det(A+B), porque no existe aditividad universal.
El error que debes evitar
No aplicar Sarrus a orden cuatro. No olvidar los signos de cofactores. No suponer det(A+B)=det(A)+det(B).
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Sumar a una fila un múltiplo de otra…
Solución y explicación
Respuesta: No cambia el determinante. Es una operación elemental que conserva el determinante.
Sarrus se aplica directamente a…
Solución y explicación
Respuesta: Orden 3. No se generaliza dibujando más diagonales en orden 4.
Si det(A)=0, A cuadrada…
Solución y explicación
Respuesta: No es invertible. Puede ser no nula y singular.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué distingue menor y cofactor?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El factor de signo (−1)ⁱ⁺ʲ.
Intenta responder antes de mirar.
¿Determinante de una triangular?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Producto de la diagonal principal.
Intenta responder antes de mirar.
¿Efecto de intercambiar filas?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Cambia el signo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Efecto de multiplicar toda una n×n por k?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Multiplica el determinante por kⁿ.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Triangulariza la matriz del primer ejemplo usando operaciones que conserven el determinante y comprueba que el producto diagonal vuelve a dar 7.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.