Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Funciones y límites
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Dominio, continuidad y funciones a trozos
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Ejercicio 1. Una tarifa alternativa cobra 5q si q<10 y 4q si q≥10. ¿Es continua en 10?
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Pista: Compara el límite izquierdo con el valor y el derecho.
Solución: El límite izquierdo es 50, mientras C(10)=40 y el límite derecho es 40. Hay un salto descendente de 10 unidades monetarias.
Ejercicio 2. Halla a para que f(x)=x² si x≤2 y ax+1 si x>2 sea continua.
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Pista: Iguala el valor 4 con el límite derecho.
Solución: 2a+1=4, luego a=3/2. Eso no garantiza derivabilidad, porque las pendientes laterales serían 4 y 3/2.
Ejercicio 3. Calcula el dominio de √(q−2)/(q−5) si además q≤8.
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Pista: Combina todas las restricciones.
Solución: q≥2, q≠5 y q≤8: dominio [2,5)∪(5,8].
Límites y asíntotas
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Ejercicio 4. Calcula lim_q→∞(4q²+3q)/(2q²+1).
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Pista: Divide todo por q².
Solución: El límite es 4/2=2.
Ejercicio 5. ¿Hay asíntota vertical en q=2 para (q²−4)/(q−2)?
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Pista: Factoriza.
Solución: No: para q≠2 la función vale q+2 y el límite es 4. Hay un hueco si el punto no se redefine.
Ejercicio 6. Obtén la oblicua de f(x)=(x²+2x+3)/(x+1).
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Pista: Realiza división polinómica.
Solución: f=x+1+2/(x+1). El resto tiende a cero en los infinitos, por lo que la oblicua es y=x+1; además x=−1 es vertical.
Interpretación de modelos económicos
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Ejercicio 7. Si C(q)=50+4q e I(q)=9q, calcula el umbral de beneficio cero.
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Pista: Iguala ingreso y coste.
Solución: 9q=50+4q, luego q=10. B=5q−50 es positivo para q>10 dentro del dominio admisible.
Ejercicio 8. Para p(q)=60−2q, calcula I(10) y el dominio de cantidades con precio no negativo.
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Pista: No confundas precio e ingreso.
Solución: p(10)=40 e I(10)=10·40=400. El dominio es 0≤q≤30.
Ejercicio 9. En q(p)=100−2p, halla dónde E=1.
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Pista: Resuelve 2p/(100−2p)=1.
Solución: 2p=100−2p, p=25 y q=50. En este modelo la elasticidad unitaria coincide con el máximo del ingreso p(100−2p), pero esa conclusión se justifica por la función concreta.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.