Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Sistemas y optimización lineal
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Sistemas lineales y discusión
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Ejercicio 1. Resuelve x+y=30 y 5x+8y=198.
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Pista: Elimina x multiplicando la primera por 5.
Solución: 3y=48, y=16 y x=14. Ambas son enteras no negativas.
Ejercicio 2. Clasifica x+2y=4 y 2x+4y=9.
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Pista: Resta dos veces la primera.
Solución: Se obtiene 0=1: sistema incompatible.
Ejercicio 3. En el segundo ejemplo, toma a=3,b=25 y comprueba la solución.
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Pista: Usa la fórmula del caso no singular.
Solución: y=(25−20)/(3−2)=5 y x=5. Se verifica 5+5=10 y 2·5+3·5=25.
Restricciones y región factible
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Ejercicio 4. Para x≥0,y≥0,x+y≤4, da los vértices.
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Pista: Incluye los ejes.
Solución: (0,0),(4,0),(0,4). La región es un triángulo cerrado.
Ejercicio 5. ¿Cumple (3,3) todas las restricciones del primer ejemplo?
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Pista: Comprueba una por una.
Solución: Cumple no negatividad y x+y=6, pero 2x+y=9>8. No es factible.
Ejercicio 6. Clasifica x≥0,y≥0,x+y≥3 como vacía, acotada o no acotada.
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Pista: Busca puntos con coordenadas arbitrariamente grandes.
Solución: Es no vacía y no acotada. Contiene, por ejemplo, (t,0) para todo t≥3.
Programación lineal contextualizada
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Ejercicio 7. Minimiza x+y en x,y≥0 y x+y≥10. ¿La no acotación impide el mínimo?
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Pista: La propia restricción da una cota inferior alcanzable.
Solución: El mínimo es 10, alcanzado en todo el segmento x+y=10 del primer cuadrante. La región es no acotada, pero el objetivo sí tiene mínimo.
Ejercicio 8. Maximiza x+y con x,y≥0 sin otras restricciones.
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Pista: Busca una dirección factible de crecimiento.
Solución: No hay máximo finito: tomando x=t,y=0 con t→∞, el objetivo crece sin cota.
Ejercicio 9. Maximiza x+y con x,y enteros no negativos, x+2y≤5 y 2x+y≤5.
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Pista: El óptimo continuo está en (5/3,5/3), pero debe respetarse integridad.
Solución: El valor continuo máximo es 10/3. Para enteros, x+y≤3 porque es entero y no supera 10/3. Se alcanza en (1,2) y (2,1), ambas factibles. Redondear a (2,2) incumple las restricciones.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.