Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Inferencia y evaluación
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Muestreo y estimación
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Ejercicio 1. En una encuesta voluntaria en una red social, ¿qué error principal no se resuelve aumentando respuestas?
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Pista: Piensa en quién puede y quiere responder.
Solución: El sesgo de selección: pueden quedar fuera personas no usuarias o menos motivadas. Más respuestas del mismo mecanismo no aseguran representatividad.
Ejercicio 2. Se eligen al azar 8 centros y se estudian sus grupos completos. Identifica el diseño.
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Pista: La unidad seleccionada primero es un grupo de personas.
Solución: Es un diseño por conglomerados; la correlación dentro de cada centro puede aumentar la incertidumbre respecto de la fórmula para individuos independientes.
Ejercicio 3. Una muestra tiene 30 éxitos de 50. ¿p vale necesariamente 0,60?
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Pista: Distingue símbolo poblacional y estadístico.
Solución: No. p̂=0,60 es la proporción observada y estima un p desconocido. Otras muestras producirían otras proporciones.
Intervalos de confianza y error
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Ejercicio 4. Con σ=10 conocida, confianza 95 % y margen como máximo 2, calcula n.
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Pista: Usa z=1,96 y redondea hacia arriba.
Solución: n≥(1,96·10/2)²=96,04. El mínimo entero es 97; 96 no garantiza el margen solicitado bajo esta fórmula.
Ejercicio 5. Muestra de población normal: n=16, X̄=20, s=4 y σ desconocida. Usa t crítico=2,13145.
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Pista: Hay 15 grados de libertad y SE=s/√n.
Solución: SE=1. El intervalo es 20±2,13145=[17,86855;22,13145]. El crítico proporcionado corresponde al 95 % bilateral con 15 grados de libertad.
Ejercicio 6. Sin estimación previa de p, pide margen 0,05 y confianza 95 %.
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Pista: Maximiza p(1−p) con p=0,5.
Solución: n≥1,96²·0,25/0,05²=384,16; se toman al menos 385 observaciones independientes. El tamaño no soluciona sesgos de selección.
Simulacros y justificación de resultados
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Ejercicio 7. El 60 % de un lote procede de A, con tasa de defecto 0,02, y el 40 % de B, con tasa 0,05. Si un objeto es defectuoso, calcula la probabilidad de que sea de B.
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Pista: Primero calcula la probabilidad total del defecto.
Solución: P(D)=0,6·0,02+0,4·0,05=0,032. P(B|D)=0,02/0,032=0,625. No se divide entre P(B) porque la condición es haber observado un defecto.
Ejercicio 8. Una muestra aleatoria de población normal tiene X̄=70, σ=10 conocida y n=100. Da el intervalo del 95 % y el n mínimo para margen 1.
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Pista: Usa z=1,96 y diferencia los dos tamaños.
Solución: Para n=100, SE=1 y el intervalo es [68,04;71,96]. Para margen 1, n≥(1,96·10)²=384,16, luego n mínimo=385. La confianza se refiere al procedimiento.
Ejercicio 9. El coste marginal es C′(q)=4+2q y C(0)=30. Obtén C(q) y el coste adicional entre q=2 y q=5.
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Pista: Integra, fija la constante y después resta o integra en el intervalo.
Solución: C(q)=4q+q²+30. El incremento es [4q+q²]₂⁵=(20+25)−(8+4)=33. El coste fijo no se suma otra vez al incremento.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.