Tres ideas para ver el tema con claridad
Matemáticas I · Unidad 5
El dominio forma parte de la función, no es una observación opcional al final.
Lecciones del tema
Resumen y esquema de decisión
El dominio forma parte de la función, no es una observación opcional al final.
- Anota restricciones algebraicas y de contexto.
- Relaciona transformaciones con la gráfica de referencia.
- En composiciones aplica primero la función interior.
- Para una inversa comprueba que cada salida identifique una entrada.
01 · Dominio y características de una función
Determinar el dominio y leer crecimiento, extremos, simetría y recorrido de una función.
- No. Dominio: entradas permitidas. Recorrido: salidas alcanzadas.
- Que su radicando sea no negativo.
02 · Funciones elementales y transformaciones
Reconocer familias de funciones y construir nuevas gráficas mediante desplazamientos y escalas.
- Desplazar la gráfica verticalmente k unidades.
- Vértice (h,k), apertura y escala de la parábola.
03 · Composición e inversa
Componer funciones con dominio correcto y construir inversas cuando existe correspondencia uno a uno.
- Primero g, después f.
- Que x sea admisible para la función interior y su imagen para la exterior.
Formulario del tema
Dominio y características de una función
Funciones elementales y transformaciones
Composición e inversa
Refuerzo 1 · Recuperación activa
Cierra los apuntes. Escribe una respuesta antes de revelar cada criterio; después compárala y corrige lo que falte.
¿Qué exige una raíz cuadrada real?
Que su radicando sea no negativo.
¿Qué informa a(x−h)²+k?
Vértice (h,k), apertura y escala de la parábola.
¿Qué exige el dominio de una composición?
Que x sea admisible para la función interior y su imagen para la exterior.
Refuerzo 2 · Detecta el error
Una resolución afirma: La inversa de f(x)=x² en todos los reales es √x.
Localiza el fallo, explica por qué no es válido y corrígelo antes de abrir la respuesta.
Contrastar mi corrección
x² no es inyectiva en ℝ: 2 y −2 tienen la misma imagen. Al restringir a x≥0, la inversa sí es √x. Con dominio x≤0 sería −√x.
Refuerzo 3 · Reto de transferencia
Sean f(x)=√x y g(x)=x−3. Calcula f∘g y g∘f con sus dominios.
Ver desarrollo y comprobación
f(g(x))=√(x−3), dominio [3,∞). g(f(x))=√x−3, dominio [0,∞). El orden cambia la expresión y las entradas permitidas.
Refuerzo 4 · Minitest mixto
Nueve preguntas del banco de las tres lecciones, reunidas para practicar la elección del método. Se reutilizan preguntas, no se presentan como un banco nuevo.
El recorrido contiene…
Solución y explicación
Respuesta: Los valores de salida alcanzados. Es el conjunto de valores de f(x), no el de entradas.
f(x−3) desplaza la gráfica…
Solución y explicación
Respuesta: Tres a la derecha. El mismo valor de entrada de f se alcanza con una x tres unidades mayor.
En f∘g actúa primero…
Solución y explicación
Respuesta: g. La notación significa f(g(x)).
El logaritmo admite argumento cero…
Solución y explicación
Respuesta: Nunca en el marco real. El argumento debe ser estrictamente positivo.
La asíntota de 5^x+2 al ir x a −∞ es…
Solución y explicación
Respuesta: y=2. 5^x tiende a cero y la suma desplaza la asíntota.
f⁻¹ significa…
Solución y explicación
Respuesta: La función inversa. El recíproco y la inversa son operaciones diferentes.
La función x² es…
Solución y explicación
Respuesta: Par. Al sustituir −x se obtiene el mismo cuadrado.
La amplitud de −4cosx es…
Solución y explicación
Respuesta: 4. La amplitud es una distancia positiva: el valor absoluto del coeficiente.
Para invertir x² mediante √x hay que usar como dominio original…
Solución y explicación
Respuesta: [0,∞). En la rama no negativa x² es inyectiva y √ deshace el cuadrado.
Refuerzo 5 · Flashcards del tema
Las doce tarjetas se comparten con las lecciones: son las mismas tarjetas, no doce duplicados que haya que estudiar dos veces.
¿Dominio y recorrido son lo mismo?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No. Dominio: entradas permitidas. Recorrido: salidas alcanzadas.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué exige una raíz cuadrada real?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Que su radicando sea no negativo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué diferencia máximo local y absoluto?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El local compara un entorno; el absoluto compara todo el dominio considerado.
Intenta responder antes de mirar.
¿Puede el contexto reducir el dominio algebraico?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Sí, por ejemplo exigiendo cantidades enteras o tiempo no negativo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué hace sumar k fuera de f?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Desplazar la gráfica verticalmente k unidades.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué informa a(x−h)²+k?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Vértice (h,k), apertura y escala de la parábola.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué caracteriza un modelo exponencial?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Cambios por un factor constante en intervalos iguales de la variable.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué provoca un coeficiente exterior negativo?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Reflexión respecto del eje horizontal, además de la escala por su valor absoluto.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cuál es el orden en f(g(x))?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Primero g, después f.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué exige el dominio de una composición?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Que x sea admisible para la función interior y su imagen para la exterior.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué significa inyectiva?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Entradas diferentes producen salidas diferentes.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo se relacionan las gráficas de una función y su inversa?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Se reflejan respecto de la recta y=x.
Intenta responder antes de mirar.
Refuerzo 6 · Mezcla con un tema anterior
Cambia de procedimiento para comprobar si puedes elegirlo sin que el título del tema te lo indique.
Expresa (5,1) como combinación de (1,1) y (1,−1).
Comparar mi solución
Las componentes dan a+b=5 y a−b=1. Sumando, 2a=6, así que a=3 y b=2. Por tanto (5,1)=3(1,1)+2(1,−1).
Calcula el ángulo menor de las rectas con directores (1,1) y (1,0).
Comparar mi solución
cosα=|1|/(√2·1)=1/√2. Por tanto α=45°.
Un plan de repaso adaptable
Hoy: haz el reto y registra el error. En 1 día: recupera las tarjetas difíciles. En 3 días: resuelve de nuevo sin mirar. En 7 días: mezcla este tema con otro. En 14 días: revisa lo que siga costando. Adelanta o retrasa sesiones según el examen y tu recuerdo real; estas fechas son una pauta, no una receta óptima universal.
Marca «lo recordaba» solo si pudiste responder antes de ver la solución. Estudiar no consiste en pasar tarjetas rápidamente.
Mi registro de errores
Se guarda solo en este navegador.
Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.
Recursos para dominar este tema
Cuando termines las lecciones, utiliza estos cuatro recursos según lo que necesites: repasar, practicar, comprobarte o corregir errores.