Elegir procedimientos para ecuaciones, inecuaciones y sistemas y comprobar todas sus soluciones.
Míralo en un dibujo
Al resolver −2x+1≥7 se resta 1 y se divide entre −2. La solución es x≤−3: dividir por un número negativo invierte la desigualdad.
Antes de seguir: ¿Cumple x=−4 la condición inicial?
Comprueba tu razonamiento
Sí: −2·(−4)+1=9 y 9≥7.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Operar con signos; Fracciones y prioridad de operaciones; Interpretar una recta numérica.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué puntos se usan en una tabla de signos racional?
Ceros del numerador y ceros del denominador, conservando las exclusiones originales.
En un minuto
- Ceros del numerador y ceros del denominador, conservando las exclusiones originales.
- Encontrar valores que satisfagan simultáneamente todas sus ecuaciones.
- Porque la ecuación transformada puede admitir candidatos que no cumplen la inicial.
- Una raíz real doble en una ecuación cuadrática con a≠0.
Entiende la idea
El concepto
Una ecuación expresa una igualdad que solo se cumple para ciertos valores. Resolverla no consiste en mover símbolos sin control, sino en aplicar transformaciones que conservan las soluciones. Sumar la misma expresión a ambos miembros es reversible. Elevar al cuadrado puede introducir soluciones extra; dividir por una expresión con incógnita puede eliminar soluciones cuando esa expresión vale cero. Esas operaciones requieren comprobar o separar casos.
En una ecuación polinómica conviene ordenar y factorizar. La propiedad del producto nulo indica que un producto es cero si al menos uno de sus factores lo es. Para una cuadrática ax²+bx+c=0, con a≠0, el discriminante b²−4ac permite anticipar el número de raíces reales. En ecuaciones racionales, los denominadores deben ser distintos de cero antes y después de simplificar.
Cómo utilizarlo sin errores
Una inecuación polinómica o racional se resuelve estudiando signos. Las raíces del numerador y las del denominador dividen la recta en intervalos donde el signo es constante, salvo que se haya omitido algún punto crítico. Los ceros del numerador pueden incluirse en desigualdades no estrictas, pero los del denominador nunca. Multiplicar una desigualdad por un denominador de signo desconocido sin estudiarlo puede cambiar la respuesta.
En los sistemas, todas las ecuaciones deben cumplirse a la vez. La sustitución es útil cuando una variable se despeja fácilmente; la eliminación combina ecuaciones para cancelar una incógnita. En un problema aplicado, define variables y unidades antes de plantear. Una solución algebraica puede carecer de sentido si representa longitudes negativas o una cantidad no entera cuando se necesitan objetos completos. La comprobación final tiene una parte algebraica y otra contextual.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
x=(−b±√(b²−4ac))/(2a), a≠0. A·B=0 ⇔ A=0 o B=0.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Resuelve (x−1)/(x+2)≥0.
- El denominador impide x=−2 y el numerador se anula en x=1. Son los puntos de separación.
- En x<−2, numerador y denominador son negativos: cociente positivo. En −2<x<1 el cociente es negativo. En x>1 es positivo.
- Incluimos x=1 porque admite igualdad y excluimos x=−2. Resultado: (−∞,−2)∪[1,∞).
Ejemplo 2 · Resuelve x+y=5 y xy=6.
- De la primera ecuación, y=5−x. Sustituimos en la segunda: x(5−x)=6.
- Resulta x²−5x+6=0=(x−2)(x−3). Si x=2, y=3; si x=3, y=2.
- Ambas parejas satisfacen suma 5 y producto 6. No se debe escribir únicamente una de ellas.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Resuelve √(x+2)=x.
Primera ayuda
La raíz es no negativa, así que x≥0.
Ver solución razonada
Al cuadrar: x+2=x², luego (x−2)(x+1)=0. Los candidatos son 2 y −1. Solo x=2 cumple la ecuación inicial: √4=2.
Práctica 2 · Resuelve 3x²−12=0.
Primera ayuda
Aísla x² y recuerda las dos raíces.
Ver solución razonada
x²=4, por lo que x=−2 o x=2. Ambas verifican 3x²−12=0.
Práctica 3 · Un rectángulo tiene perímetro 14 cm y área 12 cm². Calcula sus lados.
Primera ayuda
Si los lados son a y b, usa a+b=7 y ab=12.
Ver solución razonada
Sustituyendo b=7−a: a²−7a+12=0, es decir, (a−3)(a−4)=0. Los lados son 3 cm y 4 cm. Intercambiarlos no produce un rectángulo diferente.
El error que debes evitar
No dividir entre x sin considerar x=0. No multiplicar desigualdades por expresiones de signo desconocido. No confundir dos soluciones ordenadas con una sola.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
En una fracción algebraica, un cero del denominador…
Solución y explicación
Respuesta: Se excluye siempre. La expresión original no está definida en ese punto.
Una cuadrática con discriminante negativo tiene…
Solución y explicación
Respuesta: Ninguna raíz real. La raíz cuadrada de un número negativo no es real.
Al elevar una ecuación al cuadrado…
Solución y explicación
Respuesta: Hay que comprobar los candidatos. Se puede perder la información del signo y aparecer soluciones extra.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué puntos se usan en una tabla de signos racional?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Ceros del numerador y ceros del denominador, conservando las exclusiones originales.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué significa resolver un sistema?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Encontrar valores que satisfagan simultáneamente todas sus ecuaciones.
Intenta responder antes de mirar.
¿Por qué comprobar tras elevar al cuadrado?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Porque la ecuación transformada puede admitir candidatos que no cumplen la inicial.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué indica el discriminante cero?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Una raíz real doble en una ecuación cuadrática con a≠0.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Compara sustitución y eliminación en un mismo sistema. Elige el método que reduzca operaciones, pero justifica por qué conserva las soluciones.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.