Resolver indeterminaciones mediante factorización y racionalización e identificar asíntotas.
Míralo en un dibujo
Se representa y=1/(x−1)+1, con asíntota vertical x=1 y horizontal y=1. La función no está definida en x=1.
Antes de seguir: ¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende a +∞?
Comprueba tu razonamiento
Es 1: el término 1/(x−1) tiende a cero.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Factorización; Dominio de funciones; División de polinomios.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Para qué sirve racionalizar una diferencia de radicales?
Para sustituirla por una diferencia de cuadrados y facilitar la simplificación.
En un minuto
- Para sustituirla por una diferencia de cuadrados y facilitar la simplificación.
- Al menos un límite lateral infinito en una abscisa finita.
- Que f(x)−(mx+n) tienda a cero.
- No. En un hueco el límite es finito.
Entiende la idea
El concepto
Una indeterminación señala que la forma aparente no decide el límite. Las expresiones 0/0, ∞/∞ o ∞−∞ pueden conducir a resultados diferentes. La técnica depende de la estructura: factorizar polinomios, dividir por la mayor potencia o multiplicar por el conjugado de un radical. No debe elegirse una regla por el mero aspecto de una cifra.
Racionalizar aprovecha (A−B)(A+B)=A²−B² para transformar una diferencia de raíces. La multiplicación por el conjugado se hace en numerador y denominador. Cerca de un punto, simplificar es válido allí donde las expresiones coinciden. Cuando x tiende a −∞, recuerda que √(x²)=|x|=−x; tratarla como x cambiaría signos y límites.
Cómo utilizarlo sin errores
Una asíntota vertical x=a aparece cuando al menos un límite lateral en a es infinito. No todo cero del denominador crea una: si se cancela un factor y queda un límite finito, hay un hueco, no una asíntota vertical. Una horizontal y=L describe un límite finito al tender x a +∞ o −∞; pueden ser diferentes en cada extremo.
Para una oblicua y=mx+n, con m≠0, la diferencia f(x)−(mx+n) debe tender a cero. En funciones racionales cuyo numerador supera en un grado al denominador, la división de polinomios la muestra directamente. La gráfica puede cortar una asíntota horizontal u oblicua; una asíntota describe comportamiento límite, no una barrera impenetrable.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
m=lim(x→∞)f(x)/x; n=lim(x→∞)(f(x)−mx), cuando existen. (A−B)(A+B)=A²−B².
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Calcula lim(x→∞)(√(x²+x)−x).
- La forma aparente es ∞−∞. Multiplicamos por el conjugado: x/(√(x²+x)+x).
- Como x tiende a +∞, dividimos por x y obtenemos 1/(√(1+1/x)+1).
- El límite es 1/2. La diferencia de dos cantidades enormes no tiene por qué ser infinita.
Ejemplo 2 · Encuentra las asíntotas de f(x)=(x²+1)/(x−1).
- En x=1 el numerador vale 2 y el denominador se aproxima a cero: hay asíntota vertical x=1. Por la izquierda el límite es −∞ y por la derecha +∞.
- Dividiendo polinomios: f(x)=x+1+2/(x−1).
- El último término tiende a cero en ambos extremos. La asíntota oblicua es y=x+1; no hay horizontal.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Calcula lim(x→3)(x²−9)/(x−3).
Primera ayuda
Factoriza la diferencia de cuadrados.
Ver solución razonada
Para x≠3 la expresión es x+3. Su límite es 6; en x=3 hay un hueco, no una asíntota vertical.
Práctica 2 · Encuentra la asíntota horizontal de (2x+1)/(x−4).
Primera ayuda
Compara coeficientes de los términos de grado uno.
Ver solución razonada
El límite en ambos extremos es 2. La asíntota horizontal es y=2.
Práctica 3 · Calcula lim(x→0)(√(1+x)−1)/x.
Primera ayuda
Racionaliza el numerador.
Ver solución razonada
La expresión se transforma en 1/(√(1+x)+1) para x≠0. Al sustituir en la transformada, el límite es 1/2.
El error que debes evitar
No sustituir √(x²) por x en el extremo negativo. No confundir hueco y asíntota. No tratar ∞−∞ como cero.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Un cero del denominador produce siempre asíntota vertical…
Solución y explicación
Respuesta: No. Puede cancelarse y dar un límite finito.
√(x²) cuando x<0 vale…
Solución y explicación
Respuesta: −x. La raíz cuadrada es no negativa: equivale a |x|.
Una gráfica puede cortar una asíntota horizontal…
Solución y explicación
Respuesta: Sí. La definición se refiere al comportamiento lejano, no a todos los puntos.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Para qué sirve racionalizar una diferencia de radicales?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Para sustituirla por una diferencia de cuadrados y facilitar la simplificación.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué identifica una asíntota vertical?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Al menos un límite lateral infinito en una abscisa finita.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué verifica una asíntota oblicua?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Que f(x)−(mx+n) tienda a cero.
Intenta responder antes de mirar.
¿Un hueco es una asíntota vertical?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No. En un hueco el límite es finito.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Compara dos fracciones con denominador x−1: una con numerador x²−1 y otra con x²+1. Explica por qué su comportamiento en 1 es distinto.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.