Geometría analítica

Matemáticas I · Unidad 4

Una recta puede describirse con una dirección o con una normal: no intercambies esos papeles.

Lecciones del tema

Resumen y esquema de decisión

Formulario del tema

Vectores en el plano y producto escalar

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2$$

$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{\Vert \overrightarrow{u}\Vert \Vert \overrightarrow{v}\Vert }(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0})$$

$$\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

Ecuaciones de la recta y posiciones relativas

$$(x,y)=(x_0,y_0)+t(v_1,v_2)$$

$$Ax+By+C=0,\overrightarrow{n}=(A,B),\overrightarrow{v}=(-B,A)$$

Distancias, ángulos y lugares geométricos

$$d(P,r)=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$$

Refuerzo 1 · Recuperación activa

Cierra los apuntes. Escribe una respuesta antes de revelar cada criterio; después compárala y corrige lo que falte.

¿Cómo se obtiene un unitario de u≠0?

Dividiendo u por |u|.

¿Cuándo usar y=mx+n con cuidado?

Cuando la recta es vertical, porque no tiene pendiente finita.

¿Cómo reconocer una circunferencia en una ecuación desarrollada?

Completando cuadrados en x e y y revisando el valor de r².

Refuerzo 2 · Detecta el error

Refuerzo 3 · Reto de transferencia

Refuerzo 4 · Minitest mixto

Nueve preguntas del banco de las tres lecciones, reunidas para practicar la elección del método. Se reutilizan preguntas, no se presentan como un banco nuevo.

El producto escalar produce…

1. Un punto
2. Un número
3. Un vector siempre

Solución y explicación

Respuesta: Un número. Su resultado es un escalar.

En ax+by+c=0, (a,b) es…

1. Un director siempre
2. Un punto de la recta
3. Un normal

Solución y explicación

Respuesta: Un normal. Es perpendicular a todos sus directores.

Una distancia puede ser…

1. Negativa si el punto queda debajo
2. Siempre no negativa
3. Imaginaria por convenio

Solución y explicación

Respuesta: Siempre no negativa. Es una longitud, y por eso no toma valores negativos.

Un vector unitario tiene módulo…

1. Cero
2. Variable
3. Uno

Solución y explicación

Respuesta: Uno. Se usa para describir una dirección sin cambiar escalas.

La recta x=4 es…

1. Vertical
2. Horizontal
3. Oblicua con pendiente 4

Solución y explicación

Respuesta: Vertical. Mantiene fija la coordenada horizontal.

La mediatriz reúne puntos…

1. A igual distancia de una recta
2. Sobre el segmento solamente
3. Equidistantes de sus extremos

Solución y explicación

Respuesta: Equidistantes de sus extremos. Esa igualdad de distancias define la recta perpendicular por el punto medio.

AB se calcula como…

1. B−A
2. A−B
3. A+B

Solución y explicación

Respuesta: B−A. El desplazamiento va desde el origen A hasta el destino B.

Dos rectas paralelas con un punto común…

1. Son secantes distintas
2. Coinciden
3. Son perpendiculares

Solución y explicación

Respuesta: Coinciden. Una misma dirección y un punto determinan una única recta.

En (x−2)²+(y+1)²=9, el radio es…

1. 3
2. 9
3. −1

Solución y explicación

Respuesta: 3. La suma de cuadrados equivale a r², no a r.

Refuerzo 5 · Flashcards del tema

Las doce tarjetas se comparten con las lecciones: son las mismas tarjetas, no doce duplicados que haya que estudiar dos veces.

¿Cómo se detecta perpendicularidad entre vectores no nulos?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Su producto escalar es cero.

Intenta responder antes de mirar.

¿Cómo se obtiene un unitario de u≠0?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Dividiendo u por |u|.

Intenta responder antes de mirar.

¿Cuándo dos vectores del plano forman una base?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Cuando no son paralelos y, por tanto, son linealmente independientes.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué diferencia proyección escalar y vectorial?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

La escalar es una componente con signo; la vectorial incluye dirección y sentido.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué datos determinan una recta en forma vectorial?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Un punto y un vector director no nulo.

Intenta responder antes de mirar.

¿Cuándo usar y=mx+n con cuidado?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Cuando la recta es vertical, porque no tiene pendiente finita.

Intenta responder antes de mirar.

¿Cómo comprobar una intersección?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Sustituye el punto en las dos ecuaciones.

Intenta responder antes de mirar.

¿Un director de ax+by+c=0?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

(−b,a), o cualquier múltiplo no nulo.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué segmento mide la distancia de un punto a una recta?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

El perpendicular a la recta.

Intenta responder antes de mirar.

¿Cómo reconocer una circunferencia en una ecuación desarrollada?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Completando cuadrados en x e y y revisando el valor de r².

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué define una parábola como lugar geométrico?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Igual distancia a un foco y una recta directriz.

Intenta responder antes de mirar.

¿Por qué usar valor absoluto al hallar el ángulo menor entre rectas?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Para ignorar el sentido arbitrario de los vectores directores.

Intenta responder antes de mirar.

Refuerzo 6 · Mezcla con un tema anterior

Cambia de procedimiento para comprobar si puedes elegirlo sin que el título del tema te lo indique.

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Fuentes y revisión editorial

Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.

• Real Decreto 243/2022, texto consolidado: enseñanzas mínimas de Bachillerato
• Orden de 30 de mayo de 2023: currículo de Bachillerato en Andalucía