Calcular distancias y ángulos e interpretar ecuaciones como lugares geométricos del plano.
Míralo en un dibujo
Entre P=(1,1) y Q=(4,5) los incrementos son 3 y 4. La distancia es √(3²+4²)=5, y no 3+4.
Antes de seguir: ¿Por qué no sumamos los incrementos directamente?
Comprueba tu razonamiento
Porque buscamos el segmento recto entre los puntos, la hipotenusa del triángulo, no el recorrido por sus catetos.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Coordenadas; Sistemas de dos ecuaciones; Producto escalar.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué segmento mide la distancia de un punto a una recta?
El perpendicular a la recta.
En un minuto
- El perpendicular a la recta.
- Completando cuadrados en x e y y revisando el valor de r².
- Igual distancia a un foco y una recta directriz.
- Para ignorar el sentido arbitrario de los vectores directores.
Entiende la idea
El concepto
La distancia entre dos puntos es el módulo del vector que los une. La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular, no la de cualquier segmento que llegue a ella. Para una recta ax+by+c=0 se calcula sustituyendo las coordenadas del punto y dividiendo el valor absoluto del resultado entre √(a²+b²). La fórmula no depende de multiplicar toda la ecuación por una constante no nula.
El ángulo entre dos rectas suele definirse como el menor, entre 0° y 90°. Se obtiene a partir del producto escalar de directores, tomando valor absoluto en el numerador. Sin ese valor absoluto se calcula el ángulo entre los vectores orientados elegidos, que puede ser obtuso aunque el ángulo menor de las rectas sea agudo.
Cómo utilizarlo sin errores
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumple una condición. La circunferencia de centro (a,b) y radio r satisface (x−a)²+(y−b)²=r². La mediatriz de un segmento reúne puntos equidistantes de sus extremos. Una parábola reúne puntos a igual distancia de un foco y una directriz; una elipse fija la suma de distancias a dos focos y una hipérbola fija el valor absoluto de su diferencia. Estas definiciones conectan geometría y ecuaciones.
Para reconocer una circunferencia expresada como x²+y²+Dx+Ey+F=0, completa cuadrados. El cuadrado del radio resultante debe ser positivo para obtener una circunferencia no degenerada: cero da un solo punto y un valor negativo no produce puntos reales. Un dibujo ayuda a interpretar, pero la verificación se hace con la condición matemática.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
d(P,r)=|ax₀+by₀+c|/√(a²+b²). cosα=|u·v|/(|u||v|). (x−a)²+(y−b)²=r².
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Calcula la distancia de P=(2,1) a 3x+4y−5=0.
- Sustituimos en el numerador: |3·2+4·1−5|=5.
- El módulo del normal es √(9+16)=5.
- La distancia es 5/5=1 unidad. El valor absoluto evita una distancia negativa.
Ejemplo 2 · Identifica el centro y el radio de x²+y²−4x+6y−12=0.
- Agrupamos y completamos cuadrados: x²−4x=(x−2)²−4; y²+6y=(y+3)²−9.
- La ecuación se convierte en (x−2)²+(y+3)²=25.
- El centro es (2,−3) y el radio 5. No es correcto tomar radio 25.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Halla la distancia entre (−1,2) y (2,6).
Primera ayuda
El vector diferencia es (3,4).
Ver solución razonada
La distancia vale √(3²+4²)=5.
Práctica 2 · Halla la mediatriz del segmento con extremos A=(0,0) y B=(4,0).
Primera ayuda
Es la recta perpendicular por el punto medio.
Ver solución razonada
El punto medio es (2,0) y el segmento es horizontal. Su mediatriz es x=2. También se obtiene igualando x²+y²=(x−4)²+y².
Práctica 3 · Calcula el ángulo menor de las rectas con directores (1,1) y (1,0).
Primera ayuda
Usa el producto escalar y los módulos.
Ver solución razonada
cosα=|1|/(√2·1)=1/√2. Por tanto α=45°.
El error que debes evitar
No olvidar la raíz del denominador. No confundir radio con radio al cuadrado. No interpretar una distancia con signo.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Una distancia puede ser…
Solución y explicación
Respuesta: Siempre no negativa. Es una longitud, y por eso no toma valores negativos.
La mediatriz reúne puntos…
Solución y explicación
Respuesta: Equidistantes de sus extremos. Esa igualdad de distancias define la recta perpendicular por el punto medio.
En (x−2)²+(y+1)²=9, el radio es…
Solución y explicación
Respuesta: 3. La suma de cuadrados equivale a r², no a r.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué segmento mide la distancia de un punto a una recta?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El perpendicular a la recta.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo reconocer una circunferencia en una ecuación desarrollada?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Completando cuadrados en x e y y revisando el valor de r².
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué define una parábola como lugar geométrico?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Igual distancia a un foco y una recta directriz.
Intenta responder antes de mirar.
¿Por qué usar valor absoluto al hallar el ángulo menor entre rectas?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Para ignorar el sentido arbitrario de los vectores directores.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Comprueba que multiplicar 3x+4y−5=0 por −2 no cambia la distancia obtenida en el ejemplo. Explica qué factores se cancelan.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.