Simplificar expresiones con potencias y radicales y resolver ecuaciones logarítmicas respetando el dominio.
Míralo en un dibujo
Para la base 2 se muestra 2³=8. Elevar 2 a 3, calcular la raíz cúbica de 8 y calcular log₂8 relacionan los mismos tres números.
Antes de seguir: ¿Qué recupera el logaritmo?
Comprueba tu razonamiento
El exponente al que hay que elevar la base para obtener el argumento.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Operar con signos; Fracciones y prioridad de operaciones; Interpretar una recta numérica.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué significa log_b(a)=c?
Que b^c=a; se requiere a>0, b>0 y b≠1.
En un minuto
- Que b^c=a; se requiere a>0, b>0 y b≠1.
- Como 1/a^n, siempre que a≠0.
- No mediante la regla del producto; la suma dentro del logaritmo no se separa.
- Al final, en las restricciones y en la ecuación original.
Entiende la idea
El concepto
Las potencias permiten escribir productos repetidos y extenderlos a exponentes enteros o racionales. Para a distinto de cero, a⁰=1 y a⁻ⁿ=1/aⁿ. Con bases positivas, a^(p/q) equivale a la raíz q-ésima de a elevada a p. En los reales, las raíces de índice par requieren radicando no negativo. La raíz cuadrada indicada por √a es la no negativa; resolver x²=a sí puede producir dos soluciones.
Cuando se multiplican potencias de la misma base se suman exponentes; al dividir, se restan. Una potencia de una potencia multiplica exponentes. Estas reglas no autorizan a distribuir exponentes sobre sumas: (a+b)²=a²+2ab+b². Simplificar radicales consiste en extraer factores que sean potencias perfectas y combinar solo radicales semejantes. Si se racionaliza un denominador, se multiplica numerador y denominador por una expresión adecuada que valga uno en conjunto.
Cómo utilizarlo sin errores
El logaritmo responde a una pregunta sobre exponentes: log_b(a)=c significa b^c=a. En el marco real se exige a>0, b>0 y b≠1. Los logaritmos de productos se suman y los de cocientes se restan cuando sus argumentos son positivos. No existe una regla que transforme log(a+b) en log(a)+log(b). El símbolo ln usa base e y log suele usar base diez; conviene comprobar la convención del ejercicio.
Antes de resolver una ecuación con logaritmos escribe todas sus restricciones. Tras transformar y obtener candidatos, vuelve a la ecuación inicial. Una raíz de la ecuación transformada puede ser inválida porque hacía negativo un argumento. Conserva expresiones exactas hasta el último paso y redondea solo cuando el contexto pida aproximaciones.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
a^m·a^n=a^(m+n). log_b(uv)=log_b(u)+log_b(v), u,v>0. log_b(a)=ln(a)/ln(b).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Simplifica √72−2√8 y calcula 27^(2/3).
- √72=√(36·2)=6√2 y √8=2√2. Por tanto, √72−2√8=6√2−4√2=2√2.
- En 27^(2/3) calculamos primero la raíz cúbica: 27^(1/3)=3. Al elevar al cuadrado obtenemos 9.
- El resultado exacto 2√2 no debe sustituirse innecesariamente por un decimal.
Ejemplo 2 · Resuelve log₂(x−1)+log₂(x+1)=3.
- Dominio: x−1>0 y x+1>0, luego x>1.
- Sumamos logaritmos: log₂((x−1)(x+1))=3. De la definición, x²−1=8, así que x²=9.
- Los candidatos son x=3 y x=−3. Solo x=3 cumple x>1. Comprobación: log₂2+log₂4=1+2=3.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Calcula 16^(−3/4).
Primera ayuda
Separa la raíz cuarta, la potencia tercera y el inverso.
Ver solución razonada
La raíz cuarta de 16 es 2; 2³=8. El exponente negativo toma el inverso: 1/8.
Práctica 2 · Resuelve ln(x)+ln(x−2)=ln(3).
Primera ayuda
El dominio exige x>2.
Ver solución razonada
ln(x(x−2))=ln3 implica x²−2x−3=0. Factorizando: (x−3)(x+1)=0. Los candidatos son 3 y −1; únicamente x=3 pertenece al dominio.
Práctica 3 · Una población se modeliza por P(t)=500·1,05^t. ¿Cuándo alcanza 1.000 según el modelo continuo?
Primera ayuda
Aísla la potencia y usa logaritmos.
Ver solución razonada
1,05^t=2 y t=ln2/ln1,05≈14,21 unidades de tiempo. Si solo se revisa al final de años enteros, el primer año con al menos 1.000 es el 15. El modelo supone una tasa constante.
El error que debes evitar
No sumar exponentes con bases distintas. No perder el término 2ab al cuadrar una suma. No aceptar candidatos fuera del dominio.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
log₁₀(1000) vale…
Solución y explicación
Respuesta: 3. 10³=1000.
¿Cuál es la identidad válida para todo x real?
Solución y explicación
Respuesta: √(x²)=|x|. La raíz cuadrada devuelve un resultado no negativo.
El dominio real de ln(4−x) es…
Solución y explicación
Respuesta: x<4. El argumento debe ser estrictamente positivo: 4−x>0.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué significa log_b(a)=c?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Que b^c=a; se requiere a>0, b>0 y b≠1.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo se simplifica a^(−n)?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Como 1/a^n, siempre que a≠0.
Intenta responder antes de mirar.
¿Se puede descomponer ln(a+b)?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No mediante la regla del producto; la suma dentro del logaritmo no se separa.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cuándo se comprueban las soluciones logarítmicas?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Al final, en las restricciones y en la ecuación original.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Escribe una misma cantidad en forma radical, potencia racional y decimal. Explica cuál es exacta y cuál facilita una comparación.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.