Transformar identidades y resolver ecuaciones trigonométricas incluyendo todas las soluciones del intervalo.
Míralo en un dibujo
En la circunferencia unidad las proyecciones forman un triángulo rectángulo de hipotenusa 1: cos²θ+sen²θ=1.
Antes de seguir: ¿Por qué la suma de cuadrados vale 1?
Comprueba tu razonamiento
Porque es el cuadrado del radio de la circunferencia unidad, por el teorema de Pitágoras.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Triángulos y semejanza; Teorema de Pitágoras; Despeje de ecuaciones.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿En qué se diferencia una identidad de una ecuación?
La identidad vale en todo su dominio; una ecuación solo en su conjunto de soluciones.
En un minuto
- La identidad vale en todo su dominio; una ecuación solo en su conjunto de soluciones.
- Iguala cada factor a cero en lugar de dividir por uno que podría anularse.
- 2senx cosx.
- No; sus funciones inversas devuelven valores principales.
Entiende la idea
El concepto
Una identidad trigonométrica es una igualdad válida para todos los ángulos de su dominio. Una ecuación solo se cumple para ciertos ángulos. Demostrar una identidad consiste en transformar un miembro hasta obtener el otro, sin introducir operaciones no válidas. Resolver una ecuación exige encontrar los valores concretos y, cuando se pide, describir la periodicidad de sus soluciones.
La identidad sen²x+cos²x=1 permite sustituir cuadrados. Las fórmulas del ángulo doble, sen2x=2senx cosx y cos2x=cos²x−sen²x, conectan ángulos distintos. De la segunda se obtienen cos2x=1−2sen²x=2cos²x−1. Las fórmulas de suma permiten expandir sen(a+b) y cos(a+b); no es correcto separar sen(a+b) como sen a+sen b.
Cómo utilizarlo sin errores
Si una ecuación se convierte en un producto igual a cero, separa sus factores. No dividas directamente por senx o cosx porque podrías perder justamente las soluciones donde ese factor es cero. Si introduces t=senx o t=cosx, resuelve la ecuación algebraica y descarta valores de t fuera de [−1,1]. Después vuelve a los ángulos y añade todas las soluciones del intervalo.
Para senx=k, un ángulo de referencia puede tener dos posiciones en una vuelta. Para cosx=k ocurre algo parecido. La calculadora solo ofrece un valor principal de arcoseno o arcocoseno; el círculo trigonométrico recupera el resto. Al final, comprueba las soluciones en la ecuación original y presta atención a puntos donde aparecían cocientes no definidos.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
sen(a+b)=sen a cos b+cos a sen b. cos(a+b)=cos a cos b−sen a sen b. sen2x=2senx cosx.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Resuelve 2sen²x−senx=0 en [0,2π).
- Factorizamos: senx(2senx−1)=0. No dividimos por senx.
- Si senx=0, en el intervalo aparecen x=0 y x=π. Si senx=1/2, aparecen x=π/6 y x=5π/6.
- La solución completa es {0,π/6,5π/6,π}. El extremo 2π no pertenece al intervalo.
Ejemplo 2 · Demuestra (1−cos2x)/sen2x=tanx donde ambas expresiones estén definidas.
- Usamos 1−cos2x=2sen²x y sen2x=2senx cosx.
- El cociente pasa a ser (2sen²x)/(2senx cosx)=senx/cosx=tanx.
- La cancelación requiere senx≠0 y cosx≠0, condiciones ya exigidas por el denominador inicial. La identidad no rellena los puntos excluidos.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Resuelve cosx=−1/2 en [0,2π).
Primera ayuda
El coseno es negativo en los cuadrantes segundo y tercero.
Ver solución razonada
Los ángulos con referencia π/3 son 2π/3 y 4π/3. Ambos tienen coseno −1/2.
Práctica 2 · Calcula exactamente sen75°.
Primera ayuda
Escribe 75°=45°+30°.
Ver solución razonada
sen75°=sen45°cos30°+cos45°sen30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4.
Práctica 3 · Resuelve tanx=1 en los reales.
Primera ayuda
La tangente tiene periodo π.
Ver solución razonada
Una solución es π/4. Todas son x=π/4+kπ, con k entero. En esos ángulos el coseno no se anula.
El error que debes evitar
No olvidar soluciones de otros cuadrantes. No incluir 2π cuando el intervalo termina abierto. No extender una identidad a puntos excluidos del dominio inicial.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
sen(a+b) es…
Solución y explicación
Respuesta: sen a cos b+cos a sen b. La fórmula incluye productos cruzados.
Dividir senx(2cosx−1)=0 entre senx…
Solución y explicación
Respuesta: Puede perder soluciones. Se perderían los ángulos para los que senx=0.
Si al sustituir t=cosx sale t=2…
Solución y explicación
Respuesta: Se descarta en el marco real. El coseno real solo toma valores entre −1 y 1.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿En qué se diferencia una identidad de una ecuación?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La identidad vale en todo su dominio; una ecuación solo en su conjunto de soluciones.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo evitar perder soluciones al factorizar?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Iguala cada factor a cero en lugar de dividir por uno que podría anularse.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cuál es sen2x?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
2senx cosx.
Intenta responder antes de mirar.
¿La calculadora devuelve todas las soluciones trigonométricas?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No; sus funciones inversas devuelven valores principales.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Elige una de tus soluciones y compruébala numéricamente. Después explica por qué ninguna zona del círculo ha quedado sin revisar.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.