Estudiar continuidad y ajustar parámetros en funciones definidas a trozos.
Míralo en un dibujo
La función es x+1 para x<2 y x−1 para x≥2. El límite por la izquierda es 3 y por la derecha es 1; no hay límite bilateral en 2.
Antes de seguir: ¿Se arregla el salto cambiando solo f(2)?
Comprueba tu razonamiento
No. Los límites laterales son distintos, independientemente del valor aislado que se asigne a f(2).
Antes de empezar
Necesitas manejar: Factorización; Dominio de funciones; División de polinomios.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Cuáles son las tres comprobaciones de continuidad?
Valor definido, límite existente y coincidencia entre ambos.
En un minuto
- Valor definido, límite existente y coincidencia entre ambos.
- La que incluye el punto mediante la igualdad.
- No, porque los límites laterales siguen siendo distintos.
- En mantener un intervalo continuo con cambio de signo y reducirlo por mitades.
Entiende la idea
El concepto
Una función es continua en a cuando está definida allí, existe un límite finito al aproximarse a a y ese límite coincide con f(a). Estas tres condiciones deben revisarse por separado. La imagen geométrica de dibujar sin levantar el lápiz ayuda, pero no sustituye el criterio, especialmente cuando hay puntos aislados o expresiones a trozos.
Una discontinuidad evitable ocurre cuando el límite finito existe pero el valor de la función falta o no coincide. Se repara asignando ese límite al punto. Una discontinuidad de salto tiene límites laterales finitos diferentes y no se arregla cambiando solo un valor. En una discontinuidad infinita algún lado crece sin cota. La clasificación describe el comportamiento, no solo una operación fallida.
Cómo utilizarlo sin errores
En una función definida por tramos, cada expresión suele ser continua en su zona; los puntos de unión requieren comprobar los dos límites laterales y el valor exacto, que viene dado por el tramo con igualdad. Si hay parámetros, igualar los laterales proporciona ecuaciones. A veces existen varias soluciones o ninguna. No basta con sustituir en una sola rama.
La continuidad en un intervalo permite usar propiedades importantes. Si una función continua toma un valor negativo en un extremo y uno positivo en otro, alcanza cero en algún punto intermedio. Es una afirmación de existencia: no garantiza una única raíz ni calcula su posición exacta. El método de bisección aprovecha esa idea, reduciendo un intervalo con cambio de signo a mitades. Comprobar las hipótesis evita aplicar conclusiones a funciones con saltos o asíntotas.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Continuidad en a: f(a) existe y lim(x→a⁻)f(x)=lim(x→a⁺)f(x)=f(a).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Ajusta a para que f(x)=x² si x≤2 y f(x)=3x+a si x>2 sea continua.
- Por la izquierda, el límite en 2 es 4. Además f(2)=4, porque la primera rama incluye el punto.
- Por la derecha, el límite es 6+a. Igualamos 6+a=4.
- Resulta a=−2. Con ese valor coinciden laterales y valor de la función.
Ejemplo 2 · Una función es (x²−1)/(x−1) para x≠1 y vale 7 en x=1. ¿Es continua?
- Para x≠1, la expresión se simplifica como x+1. Su límite en 1 es 2.
- El valor definido es f(1)=7, que no coincide con el límite.
- Presenta discontinuidad evitable. Sustituir f(1) por 2 la haría continua.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Estudia la continuidad de |x| en cero.
Primera ayuda
Calcula cada lateral y el valor.
Ver solución razonada
Por ambos lados |x| tiende a cero y f(0)=0. Es continua en cero, aunque su derivabilidad es otra cuestión.
Práctica 2 · f(x)=x+1 para x<0 y f(x)=2x+3 para x≥0. Clasifica lo que ocurre en cero.
Primera ayuda
Los límites laterales son finitos.
Ver solución razonada
El izquierdo es 1 y el derecho es 3; f(0)=3. Hay un salto y no se elimina cambiando únicamente f(0).
Práctica 3 · Justifica que x³+x−1 tiene alguna raíz en (0,1).
Primera ayuda
Comprueba continuidad y cambio de signo.
Ver solución razonada
Es un polinomio, por tanto continuo en [0,1]. Sus valores son −1 en 0 y 1 en 1. Por el teorema del valor intermedio existe al menos una raíz entre ambos.
El error que debes evitar
No asignar a la función el valor de la rama equivocada. No equiparar continuidad y derivabilidad. No usar cambio de signo a través de una asíntota.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Para continuidad en a basta con que f(a) exista…
Solución y explicación
Respuesta: No. También debe existir el límite y coincidir con ese valor.
Una discontinuidad evitable se puede reparar…
Solución y explicación
Respuesta: Asignando al punto el límite finito. Es el defecto que se resuelve modificando un único valor.
El cambio de signo con continuidad garantiza…
Solución y explicación
Respuesta: Al menos una raíz intermedia. Es una conclusión de existencia, no de unicidad ni de cálculo exacto.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Cuáles son las tres comprobaciones de continuidad?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Valor definido, límite existente y coincidencia entre ambos.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué rama da f(a) en una función a trozos?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La que incluye el punto mediante la igualdad.
Intenta responder antes de mirar.
¿Se arregla un salto cambiando solo f(a)?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No, porque los límites laterales siguen siendo distintos.
Intenta responder antes de mirar.
¿En qué se basa la bisección?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
En mantener un intervalo continuo con cambio de signo y reducirlo por mitades.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Aplica dos pasos de bisección a x³+x−1 en [0,1]. Justifica qué mitad conservas cada vez en lugar de limitarte a escribir números.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.