Usar el signo de la derivada para estudiar crecimiento y resolver optimizaciones con restricciones.
Míralo en un dibujo
En el dominio 0≤x≤4 se dibuja f(x)=−(x−2)²+4. El máximo absoluto es 4 en x=2; también se comparan los extremos del intervalo.
Antes de seguir: ¿Basta con resolver f′(x)=0 para justificar el máximo absoluto?
Comprueba tu razonamiento
No. También deben comprobarse el dominio, puntos no derivables si existen y extremos de la región admisible.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Funciones y límites; Polinomios; Despeje de restricciones.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué es un punto crítico?
Un punto del dominio donde la derivada se anula o no existe.
En un minuto
- Un punto del dominio donde la derivada se anula o no existe.
- Un máximo local.
- Plantear objetivo, restricción y dominio contextual.
- No; hay que usar otro criterio, como el cambio de signo.
Entiende la idea
El concepto
La derivada conecta el cambio local con el comportamiento de una función en intervalos. Si f′ es positiva en un intervalo, la función es creciente allí; si es negativa, decreciente. Los puntos donde f′=0 o no existe, siempre que f esté definida, son candidatos a extremos. No todos son máximos o mínimos: en x³ la derivada se anula en cero, pero la función sigue creciendo.
Para clasificar un candidato, estudia el signo de f′ a ambos lados. Si pasa de positivo a negativo hay un máximo local; si pasa de negativo a positivo, un mínimo local. Si no cambia, no hay extremo de ese tipo. La segunda derivada puede ayudar: f′(a)=0 y f″(a)>0 implica mínimo local; con f″(a)<0, máximo. Si f″(a)=0, esa prueba no decide.
Cómo utilizarlo sin errores
En un intervalo cerrado y acotado, una función continua alcanza máximo y mínimo absolutos. Para encontrarlos se comparan valores en candidatos interiores y extremos del intervalo. En dominios abiertos o no acotados puede existir solo un supremo o un crecimiento sin límite, sin que se alcance un máximo.
Un problema de optimización comienza antes de derivar. Define variables, escribe la magnitud objetivo y usa la restricción para dejar una sola variable. Después determina el dominio contextual. La solución final debe incluir valores de todas las variables, unidades y justificación de que se trata del óptimo admisible. Una raíz de la derivada que represente una longitud negativa no resuelve el problema.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
f′>0: creciente. f′<0: decreciente. Máximo: signo +→−. Mínimo: signo −→+.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Estudia los extremos de f(x)=x³−3x.
- f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1). Los candidatos son −1 y 1.
- La derivada es positiva en (−∞,−1), negativa en (−1,1) y positiva en (1,∞).
- Hay máximo local en x=−1, con f(−1)=2, y mínimo local en x=1, con f(1)=−2. No son extremos absolutos en todos los reales.
Ejemplo 2 · Un rectángulo tiene perímetro 40 m. ¿Qué lados maximizan su área?
- Si un lado es x, el otro es 20−x. El dominio físico es 0<x<20.
- A(x)=x(20−x)=20x−x². Su derivada es 20−2x, que se anula en x=10.
- La derivada pasa de positiva a negativa y A″=−2<0. Los lados son 10 m y 10 m; el área máxima es 100 m².
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · ¿Tiene x³ un extremo en cero?
Primera ayuda
Mira el signo de 3x² a ambos lados.
Ver solución razonada
No. La derivada es positiva a ambos lados de cero, aunque en el punto valga cero. La función sigue creciendo.
Práctica 2 · Halla máximo y mínimo de x²−2x en [0,3].
Primera ayuda
Compara el punto crítico con los extremos del intervalo.
Ver solución razonada
f′=2x−2 se anula en x=1. f(0)=0, f(1)=−1 y f(3)=3. El mínimo absoluto es −1 en 1 y el máximo absoluto 3 en 3.
Práctica 3 · Con 24 m de valla se cercan tres lados de un rectángulo junto a una pared. Halla el área máxima.
Primera ayuda
Si los dos lados perpendiculares miden x, el tercero mide 24−2x.
Ver solución razonada
A=x(24−2x), con 0<x<12. A′=24−4x=0 da x=6. El lado junto a la pared mide 12 m y el área es 72 m². A″=−4 confirma el máximo.
El error que debes evitar
No llamar máximo a cualquier cero de la derivada. No olvidar extremos del intervalo. No entregar solo x si el problema pide dos dimensiones.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
f′(a)=0 garantiza un extremo…
Solución y explicación
Respuesta: No necesariamente. x³ en cero es un contraejemplo.
En un intervalo cerrado también hay que comprobar…
Solución y explicación
Respuesta: Los extremos del intervalo. Un máximo o mínimo absoluto puede estar en el borde.
Si f′ cambia de − a +, aparece…
Solución y explicación
Respuesta: Mínimo local. La función deja de decrecer y comienza a crecer.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué es un punto crítico?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Un punto del dominio donde la derivada se anula o no existe.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué prueba un cambio de signo +→− en f′?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Un máximo local.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué va antes de derivar en optimización?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Plantear objetivo, restricción y dominio contextual.
Intenta responder antes de mirar.
¿f″=0 decide la clasificación?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No; hay que usar otro criterio, como el cambio de signo.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Compara los dos problemas de vallas y explica por qué cambia la restricción. El método es parecido, pero el modelo geométrico no es el mismo.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.