Interpretar límites finitos e infinitos y distinguirlos del valor de la función en un punto.
Míralo en un dibujo
Se representa y=x+1 para x distinto de 2, con un hueco en (2,3) y un punto aislado en (2,1). El límite en 2 vale 3, aunque el valor de la función en 2 sea 1.
Antes de seguir: ¿Qué habría que cambiar para lograr continuidad en x=2?
Comprueba tu razonamiento
Definir f(2)=3. Los valores cercanos ya se aproximan a 3 por ambos lados.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Factorización; Dominio de funciones; División de polinomios.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Límite y valor de la función son lo mismo?
No; el límite depende de la aproximación alrededor del punto.
En un minuto
- No; el límite depende de la aproximación alrededor del punto.
- Buscar una transformación válida cerca del punto, como factorizar o racionalizar.
- La coincidencia de los dos límites laterales.
- Sus términos a₁r^(n−1) se aproximan a cero.
Entiende la idea
El concepto
Un límite describe a qué valor se aproxima f(x) cuando x se acerca a un punto, sin exigir que lo alcance. El valor de f en ese punto puede ser distinto o incluso no existir. Para que el límite bilateral sea L, los límites por la izquierda y por la derecha deben existir y coincidir. Una tabla puede sugerir ese comportamiento, pero no sustituye una justificación cuando hay una expresión algebraica.
En funciones continuas conocidas, como polinomios, se puede sustituir directamente. En un cociente esto también funciona si el límite del denominador no es cero. Si al sustituir aparece 0/0, no significa que el límite sea cero, uno o que no exista: es una indeterminación que requiere transformar la expresión. Factorizar puede descubrir factores cancelables para x próximo al punto, manteniendo claro que el punto original puede estar excluido.
Cómo utilizarlo sin errores
Los límites cuando x crece sin cota estudian el comportamiento lejano de una función. En fracciones de polinomios, dividir por la mayor potencia del denominador o comparar grados permite identificar el término dominante. Los límites infinitos, por su parte, indican crecimiento sin cota de los valores de f, no una salida real llamada infinito.
Las sucesiones son funciones definidas en índices naturales. También puede estudiarse a qué se aproxima a_n cuando n aumenta. Una sucesión aritmética tiene diferencia constante y una geométrica razón constante; sus límites dependen de esos parámetros. Por ejemplo, una geométrica con |r|<1 y término a_n=a₁r^(n−1) tiende a cero. Siempre distingue una regularidad observada en pocos términos de una regla demostrada.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
lim(x→a)f(x)=L si coinciden los límites laterales. lim(x→∞)(a_nx^n+…)/(b_nx^n+…)=a_n/b_n, b_n≠0.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Calcula lim(x→2)(x²−4)/(x−2).
- La sustitución produce 0/0, así que factorizamos x²−4=(x−2)(x+2).
- Para x≠2, el cociente coincide con x+2. Por tanto, su límite al acercarse a 2 es 4.
- El cociente original sigue sin estar definido en x=2; el límite no cambia esa exclusión.
Ejemplo 2 · Calcula lim(x→∞)(3x²−1)/(2x²+5).
- Dividimos numerador y denominador por x²: (3−1/x²)/(2+5/x²).
- Los términos 1/x² y 5/x² tienden a cero.
- El límite es 3/2. Los términos de grado dos controlan el comportamiento lejano.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Calcula lim(x→1)(x²+2x+3).
Primera ayuda
Es un polinomio continuo.
Ver solución razonada
La sustitución directa da 1+2+3=6.
Práctica 2 · Una función vale −1 para x<0 y 1 para x≥0. ¿Tiene límite bilateral en 0?
Primera ayuda
Compara los dos lados.
Ver solución razonada
El límite por la izquierda es −1 y por la derecha 1. Como son diferentes, no existe el límite bilateral, aunque f(0)=1 sí está definido.
Práctica 3 · Calcula el límite de a_n=(2n+1)/(n+1).
Primera ayuda
Divide numerador y denominador por n.
Ver solución razonada
a_n=(2+1/n)/(1+1/n), que tiende a 2. El valor 2 es una aproximación límite, no necesariamente un término de la sucesión.
El error que debes evitar
No asignar un resultado a 0/0 sin operar. No confundir infinito con un número real. No creer que una tabla finita demuestra un límite.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
La forma 0/0 indica…
Solución y explicación
Respuesta: Indeterminación. Hay que transformar o estudiar con más detalle.
Si los límites laterales son distintos…
Solución y explicación
Respuesta: No existe el límite bilateral. La aproximación debe llevar al mismo valor por ambos lados.
El límite de un polinomio en a se calcula…
Solución y explicación
Respuesta: Sustituyendo a. Los polinomios son continuos en los reales.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Límite y valor de la función son lo mismo?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No; el límite depende de la aproximación alrededor del punto.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué se hace ante 0/0?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Buscar una transformación válida cerca del punto, como factorizar o racionalizar.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué decide un límite bilateral?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La coincidencia de los dos límites laterales.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué significa una sucesión geométrica de razón con |r|<1?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Sus términos a₁r^(n−1) se aproximan a cero.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Construye una tabla de la primera función cerca de 2, sin usar x=2. Después relaciona la observación con la factorización que demuestra el resultado.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.