Tres ideas para ver el tema con claridad
Matemáticas I · Unidad 6
Un límite describe qué ocurre cerca de un punto; continuidad exige además acertar en el propio punto.
Lecciones del tema
Resumen y esquema de decisión
Un límite describe qué ocurre cerca de un punto; continuidad exige además acertar en el propio punto.
- Intenta sustituir y clasifica el resultado.
- Si hay indeterminación, transforma sin olvidar exclusiones.
- Compara límites laterales cuando haya tramos.
- Separa valor de la función, límite y existencia de asíntota.
01 · Interpretación de límites y cálculo
Interpretar límites finitos e infinitos y distinguirlos del valor de la función en un punto.
- No; el límite depende de la aproximación alrededor del punto.
- Buscar una transformación válida cerca del punto, como factorizar o racionalizar.
02 · Indeterminaciones y asíntotas
Resolver indeterminaciones mediante factorización y racionalización e identificar asíntotas.
- Para sustituirla por una diferencia de cuadrados y facilitar la simplificación.
- Al menos un límite lateral infinito en una abscisa finita.
03 · Continuidad y funciones a trozos
Estudiar continuidad y ajustar parámetros en funciones definidas a trozos.
- Valor definido, límite existente y coincidencia entre ambos.
- La que incluye el punto mediante la igualdad.
Formulario del tema
Interpretación de límites y cálculo
Indeterminaciones y asíntotas
Continuidad y funciones a trozos
Refuerzo 1 · Recuperación activa
Cierra los apuntes. Escribe una respuesta antes de revelar cada criterio; después compárala y corrige lo que falte.
¿Qué se hace ante 0/0?
Buscar una transformación válida cerca del punto, como factorizar o racionalizar.
¿Qué identifica una asíntota vertical?
Al menos un límite lateral infinito en una abscisa finita.
¿Qué rama da f(a) en una función a trozos?
La que incluye el punto mediante la igualdad.
Refuerzo 2 · Detecta el error
Una resolución afirma: La función (x²−1)/(x−1) tiene asíntota vertical en x=1 porque el denominador se anula.
Localiza el fallo, explica por qué no es válido y corrígelo antes de abrir la respuesta.
Contrastar mi corrección
Para x≠1 se simplifica a x+1. El límite en 1 vale 2: hay un hueco, no una asíntota vertical. Un denominador nulo no basta para decidir.
Refuerzo 3 · Reto de transferencia
Define f(x)=(x²−4)/(x−2) para x≠2 y f(2)=k. Halla k para que f sea continua.
Ver desarrollo y comprobación
Factoriza (x−2)(x+2) y cancela solo cuando x≠2. El límite en 2 es 4; la continuidad exige k=4. La nueva definición rellena el hueco.
Refuerzo 4 · Minitest mixto
Nueve preguntas del banco de las tres lecciones, reunidas para practicar la elección del método. Se reutilizan preguntas, no se presentan como un banco nuevo.
La forma 0/0 indica…
Solución y explicación
Respuesta: Indeterminación. Hay que transformar o estudiar con más detalle.
Un cero del denominador produce siempre asíntota vertical…
Solución y explicación
Respuesta: No. Puede cancelarse y dar un límite finito.
Para continuidad en a basta con que f(a) exista…
Solución y explicación
Respuesta: No. También debe existir el límite y coincidir con ese valor.
Si los límites laterales son distintos…
Solución y explicación
Respuesta: No existe el límite bilateral. La aproximación debe llevar al mismo valor por ambos lados.
√(x²) cuando x<0 vale…
Solución y explicación
Respuesta: −x. La raíz cuadrada es no negativa: equivale a |x|.
Una discontinuidad evitable se puede reparar…
Solución y explicación
Respuesta: Asignando al punto el límite finito. Es el defecto que se resuelve modificando un único valor.
El límite de un polinomio en a se calcula…
Solución y explicación
Respuesta: Sustituyendo a. Los polinomios son continuos en los reales.
Una gráfica puede cortar una asíntota horizontal…
Solución y explicación
Respuesta: Sí. La definición se refiere al comportamiento lejano, no a todos los puntos.
El cambio de signo con continuidad garantiza…
Solución y explicación
Respuesta: Al menos una raíz intermedia. Es una conclusión de existencia, no de unicidad ni de cálculo exacto.
Refuerzo 5 · Flashcards del tema
Las doce tarjetas se comparten con las lecciones: son las mismas tarjetas, no doce duplicados que haya que estudiar dos veces.
¿Límite y valor de la función son lo mismo?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No; el límite depende de la aproximación alrededor del punto.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué se hace ante 0/0?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Buscar una transformación válida cerca del punto, como factorizar o racionalizar.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué decide un límite bilateral?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La coincidencia de los dos límites laterales.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué significa una sucesión geométrica de razón con |r|<1?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Sus términos a₁r^(n−1) se aproximan a cero.
Intenta responder antes de mirar.
¿Para qué sirve racionalizar una diferencia de radicales?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Para sustituirla por una diferencia de cuadrados y facilitar la simplificación.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué identifica una asíntota vertical?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Al menos un límite lateral infinito en una abscisa finita.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué verifica una asíntota oblicua?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Que f(x)−(mx+n) tienda a cero.
Intenta responder antes de mirar.
¿Un hueco es una asíntota vertical?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No. En un hueco el límite es finito.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cuáles son las tres comprobaciones de continuidad?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Valor definido, límite existente y coincidencia entre ambos.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué rama da f(a) en una función a trozos?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La que incluye el punto mediante la igualdad.
Intenta responder antes de mirar.
¿Se arregla un salto cambiando solo f(a)?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No, porque los límites laterales siguen siendo distintos.
Intenta responder antes de mirar.
¿En qué se basa la bisección?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
En mantener un intervalo continuo con cambio de signo y reducirlo por mitades.
Intenta responder antes de mirar.
Refuerzo 6 · Mezcla con un tema anterior
Cambia de procedimiento para comprobar si puedes elegirlo sin que el título del tema te lo indique.
Una función da el coste de comprar q cuadernos a 2 € cada uno. ¿Cuál es el dominio contextual si solo hay 20 cuadernos?
Comparar mi solución
C(q)=2q y q∈{0,1,…,20}. El dominio contextual es discreto; no incluye 1,5 cuadernos ni cantidades negativas.
Si f(x)=1/x y g(x)=x−2, calcula f∘g y su dominio.
Comparar mi solución
(f∘g)(x)=1/(x−2). Se excluye x=2; dominio (−∞,2)∪(2,∞).
Un plan de repaso adaptable
Hoy: haz el reto y registra el error. En 1 día: recupera las tarjetas difíciles. En 3 días: resuelve de nuevo sin mirar. En 7 días: mezcla este tema con otro. En 14 días: revisa lo que siga costando. Adelanta o retrasa sesiones según el examen y tu recuerdo real; estas fechas son una pauta, no una receta óptima universal.
Marca «lo recordaba» solo si pudiste responder antes de ver la solución. Estudiar no consiste en pasar tarjetas rápidamente.
Mi registro de errores
Se guarda solo en este navegador.
Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.
Recursos para dominar este tema
Cuando termines las lecciones, utiliza estos cuatro recursos según lo que necesites: repasar, practicar, comprobarte o corregir errores.