Resolver triángulos rectángulos y oblicuángulos y decidir cuándo los datos determinan una solución única.
Míralo en un dibujo
Triángulo rectángulo con catetos de 3 y 4 y una hipotenusa de 5. Respecto al ángulo θ de la base, senθ=3/5, cosθ=4/5 y tanθ=3/4.
Antes de seguir: ¿Cuál es el lado opuesto al ángulo recto?
Comprueba tu razonamiento
La hipotenusa, que aquí mide 5. No cambia por elegir otro ángulo de referencia.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Triángulos y semejanza; Teorema de Pitágoras; Despeje de ecuaciones.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué lado se empareja con senA?
El lado a, opuesto al ángulo A.
En un minuto
- El lado a, opuesto al ángulo A.
- El ángulo comprendido entre esos dos lados.
- El ángulo suplementario y la suma de los ángulos interiores.
- Cada lado es menor que la suma de los otros dos.
Entiende la idea
El concepto
Resolver un triángulo significa calcular sus lados y ángulos a partir de datos suficientes. En cualquier triángulo plano los ángulos interiores suman 180°. Conviene nombrar a, b y c a los lados opuestos a A, B y C respectivamente. Esta correspondencia es esencial: el teorema del seno relaciona cada lado con el seno de su ángulo opuesto, no con un ángulo adyacente.
En un triángulo rectángulo se usan Pitágoras y las razones seno, coseno y tangente. En uno oblicuángulo, el teorema del coseno permite hallar un lado cuando se conocen los otros dos y el ángulo comprendido. También permite encontrar un ángulo si se conocen los tres lados. El teorema del seno resulta útil cuando se conoce una pareja lado-ángulo opuesto y otra información suficiente.
Cómo utilizarlo sin errores
Dos lados y un ángulo no comprendido pueden producir cero, uno o dos triángulos. La causa es que senA=sen(180°−A). Una respuesta de arcoseno no resuelve por sí sola esa ambigüedad: hay que probar el ángulo suplementario y verificar que la suma con el otro ángulo conocido es menor que 180°. Además, las longitudes deben cumplir la desigualdad triangular.
El área puede calcularse con dos lados y el seno del ángulo comprendido: ab senC/2. Si se conocen los tres lados, la fórmula de Herón usa el semiperímetro. En problemas de alturas, navegación o distancias inaccesibles, empieza por un dibujo y decide si trabajas en el plano y con segmentos rectos. Conserva suficiente precisión durante los cálculos; redondear pronto los ángulos altera los lados restantes.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
a/senA=b/senB=c/senC. c²=a²+b²−2ab cosC. Área=ab senC/2.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Dos lados miden 5 cm y 7 cm y forman 60°. Calcula el tercer lado y el área.
- El ángulo conocido está comprendido entre los dos lados, por lo que aplicamos cosenos: c²=25+49−2·5·7·cos60°=39.
- Así, c=√39 cm≈6,245 cm. Elegimos la raíz positiva porque es una longitud.
- El área es 5·7·sen60°/2=35√3/4 cm²≈15,16 cm².
Ejemplo 2 · En un triángulo, A=30°, a=5 y b=8. Estudia cuántas soluciones existen.
- Por el teorema del seno, senB=b senA/a=8·0,5/5=0,8.
- Un ángulo es B≈53,13° y su suplementario es B≈126,87°. Con A=30°, ambos dejan un tercer ángulo positivo.
- Hay dos triángulos: C≈96,87° o C≈23,13°. No basta con quedarse con la salida principal de la calculadora.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Una escalera de 6 m forma 60° con el suelo. Calcula la altura alcanzada.
Primera ayuda
La escalera es la hipotenusa.
Ver solución razonada
La altura es 6sen60°=3√3 m≈5,20 m. La separación horizontal sería 6cos60°=3 m.
Práctica 2 · Un triángulo tiene lados 3, 4 y 5. Calcula el ángulo opuesto al lado 5.
Primera ayuda
Aplica el teorema del coseno despejando el coseno.
Ver solución razonada
cosC=(3²+4²−5²)/(2·3·4)=0. Entonces C=90° y el triángulo es rectángulo.
Práctica 3 · ¿Pueden los lados 2 cm, 3 cm y 6 cm formar un triángulo?
Primera ayuda
La suma de los dos menores debe superar al mayor.
Ver solución razonada
No. 2+3=5<6. Los segmentos no pueden cerrar un triángulo; no tiene sentido seguir calculando ángulos.
El error que debes evitar
No emparejar un lado con un ángulo incorrecto. No ignorar el caso ambiguo. No redondear cada paso a dos cifras si faltan cálculos.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
El teorema del coseno se usa directamente con…
Solución y explicación
Respuesta: Dos lados y su ángulo comprendido. Esos tres datos permiten obtener el lado opuesto al ángulo conocido.
Con dos lados y un ángulo no comprendido…
Solución y explicación
Respuesta: Puede haber dos triángulos. El seno comparte valor entre ángulos suplementarios y ambos pueden ser admisibles.
El área ab senC/2 usa C como…
Solución y explicación
Respuesta: Ángulo comprendido entre a y b. La altura asociada se obtiene a partir de ese ángulo.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué lado se empareja con senA?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El lado a, opuesto al ángulo A.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué dato permite usar cosenos con dos lados?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El ángulo comprendido entre esos dos lados.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué hay que revisar en el caso ambiguo del seno?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El ángulo suplementario y la suma de los ángulos interiores.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué exige la desigualdad triangular?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Cada lado es menor que la suma de los otros dos.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Plantea dos métodos para hallar el área del triángulo 3–4–5. Compara base por altura con la fórmula trigonométrica.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.