Calcular probabilidades mediante recuento, complementarios y árboles y contrastar modelos con frecuencias.
Míralo en un dibujo
Dos conjuntos solapados representan A y B. La zona compartida es A∩B; la unión incluye ambos conjuntos y cuenta el solapamiento una sola vez.
Antes de seguir: ¿Qué restamos en P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)?
Comprueba tu razonamiento
La intersección, porque al sumar las dos probabilidades se había contado dos veces.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Media y dispersión; Rectas; Proporciones.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Cuándo conviene usar el complementario?
En eventos como al menos uno, cuando ninguno es más fácil de calcular.
En un minuto
- En eventos como al menos uno, cuando ninguno es más fácil de calcular.
- Selecciones sin orden de k elementos entre n.
- Multiplicando probabilidades, incluidas las condicionadas.
- No; la frecuencia es una observación que puede fluctuar alrededor del modelo.
Entiende la idea
El concepto
Un experimento aleatorio puede producir distintos resultados aunque se repitan condiciones semejantes. El espacio muestral recoge los resultados posibles y un suceso es un subconjunto. La probabilidad asigna valores entre cero y uno, con probabilidad uno para el espacio completo. El suceso complementario reúne los resultados donde no ocurre el original.
La regla de Laplace, casos favorables entre posibles, se aplica cuando los resultados elementales considerados son equiprobables. No basta con contar etiquetas: «llueve» y «no llueve» son dos resultados, pero eso no los vuelve igualmente probables. Para contar secuencias, el principio multiplicativo combina decisiones sucesivas. Las combinaciones C(n,k)=n!/(k!(n−k)!) cuentan grupos sin importar el orden; las variaciones y permutaciones sí consideran posiciones.
Cómo utilizarlo sin errores
En un árbol se multiplican probabilidades a lo largo de una rama y se suman ramas incompatibles que llevan al mismo evento. Sin reemplazamiento cambian las cantidades disponibles, de modo que la segunda probabilidad depende de la primera extracción. La probabilidad condicionada P(A|B) restringe el universo a B. Dos sucesos son independientes si P(A∩B)=P(A)P(B); independencia no significa incompatibilidad.
La frecuencia relativa estima una probabilidad al repetir un experimento, pero fluctúa. Aumentar el número de ensayos suele estabilizar estimaciones bajo un modelo de repeticiones independientes; no fuerza que una muestra pequeña reproduzca exactamente la proporción teórica. Una simulación debe especificar cómo genera resultados y qué suposiciones representa. Diferencia el resultado calculado de un modelo y la evidencia observada.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
P(Aᶜ)=1−P(A). P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). P(A|B)=P(A∩B)/P(B), P(B)>0.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Una urna contiene 3 bolas rojas y 2 azules. Se extraen dos sin reemplazo. Calcula la probabilidad de dos rojas.
- En la primera extracción P(R)=3/5. Tras una roja quedan 2 rojas entre 4 bolas.
- Multiplicamos la rama: P(RR)=(3/5)(2/4)=3/10.
- También puede contarse C(3,2)/C(5,2)=3/10. Ambos métodos coinciden.
Ejemplo 2 · Se lanzan dos dados equilibrados. Calcula la probabilidad de obtener al menos un seis.
- El complementario es no obtener ningún seis. Cada dado tiene probabilidad 5/6 de no mostrarlo.
- Por independencia, P(ningún seis)=(5/6)²=25/36.
- Así, P(al menos uno)=1−25/36=11/36. Sumar 1/6+1/6 sin corregir contaría dos veces el doble seis.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · ¿Cuántos grupos de tres alumnos pueden elegirse de un conjunto de cinco?
Primera ayuda
El orden de selección no importa.
Ver solución razonada
C(5,3)=5!/(3!2!)=10 grupos.
Práctica 2 · En una baraja simplificada hay 4 cartas rojas y 6 negras. Se toma una y no se devuelve. Si la primera fue negra, ¿cuál es la probabilidad de roja en la segunda?
Primera ayuda
Quedan nueve cartas y ninguna roja ha salido.
Ver solución razonada
P(roja segunda | negra primera)=4/9.
Práctica 3 · En 100 lanzamientos de una moneda se observan 57 caras. ¿Eso prueba que P(cara)=0,57?
Primera ayuda
Distingue frecuencia y parámetro del modelo.
Ver solución razonada
La frecuencia observada es 0,57, una estimación. No demuestra que la probabilidad verdadera sea exactamente ese valor; una moneda equilibrada también puede producir esa muestra.
El error que debes evitar
No asumir equiprobabilidad sin justificarla. No olvidar actualizar una urna sin reemplazo. No confundir independencia con incompatibilidad.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Laplace exige…
Solución y explicación
Respuesta: Resultados elementales equiprobables. Sin equiprobabilidad, contar casos no basta.
Sin reemplazo, la segunda extracción…
Solución y explicación
Respuesta: Puede depender de la primera. Cambian las cantidades que quedan en la urna.
Sucesos incompatibles con probabilidades positivas son…
Solución y explicación
Respuesta: No independientes. Su intersección tiene probabilidad cero, mientras el producto de sus probabilidades es positivo.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Cuándo conviene usar el complementario?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
En eventos como al menos uno, cuando ninguno es más fácil de calcular.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué cuentan las combinaciones?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Selecciones sin orden de k elementos entre n.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo se calcula una rama de un árbol?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Multiplicando probabilidades, incluidas las condicionadas.
Intenta responder antes de mirar.
¿Frecuencia relativa y probabilidad teórica son idénticas?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No; la frecuencia es una observación que puede fluctuar alrededor del modelo.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Diseña una simulación del ejemplo de la urna: representa cinco bolas, elige dos índices distintos y cuenta las veces que ambas son rojas. Explica por qué usar dos elecciones con reposición simularía otro problema.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.