Determinar el dominio y leer crecimiento, extremos, simetría y recorrido de una función.
Míralo en un dibujo
La función y=√(x−1) empieza en (1,0), incluido. Su dominio es [1,+∞): el radicando no puede ser negativo en los reales.
Antes de seguir: ¿Existe un valor real de esta función para x=0?
Comprueba tu razonamiento
No; el radicando sería −1. La gráfica no se prolonga hacia esos valores de x.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Intervalos; Ecuaciones; Lectura de gráficas.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Dominio y recorrido son lo mismo?
No. Dominio: entradas permitidas. Recorrido: salidas alcanzadas.
En un minuto
- No. Dominio: entradas permitidas. Recorrido: salidas alcanzadas.
- Que su radicando sea no negativo.
- El local compara un entorno; el absoluto compara todo el dominio considerado.
- Sí, por ejemplo exigiendo cantidades enteras o tiempo no negativo.
Entiende la idea
El concepto
Una función asigna a cada valor permitido de la variable independiente exactamente un valor de la dependiente. Su dominio recoge las entradas admitidas y su recorrido las salidas que realmente se obtienen. No son conceptos intercambiables. En una gráfica, una recta vertical no puede cortar la curva en dos puntos diferentes si se trata de una función de x.
El dominio puede venir impuesto por el contexto o por la expresión. Un denominador no puede valer cero; una raíz de índice par exige radicando no negativo; un logaritmo exige argumento positivo. Cuando aparecen varias restricciones se cumplen simultáneamente: se intersectan. Si se simplifica una fracción, se mantienen los puntos excluidos por la fórmula original, salvo que se defina expresamente una función extendida.
Cómo utilizarlo sin errores
Una función es creciente en un intervalo si entradas mayores producen salidas mayores; decreciente si sucede lo contrario. Un máximo o mínimo local compara valores cercanos y uno absoluto compara todo el dominio considerado. La ordenada f(0) da el corte con el eje vertical si cero pertenece al dominio; los ceros de f dan cortes con el eje horizontal.
La simetría par cumple f(−x)=f(x) y refleja la gráfica respecto del eje vertical. La impar cumple f(−x)=−f(x) y presenta simetría respecto del origen. Estas condiciones requieren un dominio simétrico. Una función periódica repite valores al desplazar la entrada un periodo. Para describirla de forma completa, combina fórmula, tabla y gráfica; una tabla limitada no demuestra por sí sola el comportamiento en todo el dominio.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Dominio: denominadores≠0; radicandos pares≥0; argumentos de logaritmos>0. Par: f(−x)=f(x). Impar: f(−x)=−f(x).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Determina el dominio de f(x)=√(x−1)/(x−3).
- La raíz exige x−1≥0, es decir, x≥1. El denominador excluye x=3.
- Combinamos ambas restricciones: [1,3)∪(3,∞).
- El 1 sí está permitido: f(1)=0/(−2)=0. El 3 sigue excluido aunque la raíz esté definida.
Ejemplo 2 · Describe el recorrido y los extremos de f(x)=(x−2)²+1.
- Un cuadrado nunca es negativo, por lo que f(x)≥1 para todo real.
- La igualdad se alcanza cuando x=2: el mínimo absoluto es f(2)=1.
- El recorrido es [1,∞). La función decrece hasta x=2 y crece después; no tiene máximo absoluto en los reales.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Halla el dominio de ln(5−x).
Primera ayuda
El argumento del logaritmo debe ser positivo.
Ver solución razonada
5−x>0 equivale a x<5. Dominio: (−∞,5).
Práctica 2 · Indica si f(x)=x³−x es par, impar o ninguna.
Primera ayuda
Sustituye x por −x.
Ver solución razonada
f(−x)=−x³+x=−(x³−x)=−f(x). Es impar y su dominio, todos los reales, es simétrico.
Práctica 3 · Una función da el coste de comprar q cuadernos a 2 € cada uno. ¿Cuál es el dominio contextual si solo hay 20 cuadernos?
Primera ayuda
Se compran objetos enteros, no cantidades reales cualesquiera.
Ver solución razonada
C(q)=2q y q∈{0,1,…,20}. El dominio contextual es discreto; no incluye 1,5 cuadernos ni cantidades negativas.
El error que debes evitar
No aceptar logaritmos de cero. No borrar exclusiones tras simplificar. No describir como continuo un dominio de objetos enteros.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
El recorrido contiene…
Solución y explicación
Respuesta: Los valores de salida alcanzados. Es el conjunto de valores de f(x), no el de entradas.
El logaritmo admite argumento cero…
Solución y explicación
Respuesta: Nunca en el marco real. El argumento debe ser estrictamente positivo.
La función x² es…
Solución y explicación
Respuesta: Par. Al sustituir −x se obtiene el mismo cuadrado.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Dominio y recorrido son lo mismo?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No. Dominio: entradas permitidas. Recorrido: salidas alcanzadas.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué exige una raíz cuadrada real?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Que su radicando sea no negativo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué diferencia máximo local y absoluto?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El local compara un entorno; el absoluto compara todo el dominio considerado.
Intenta responder antes de mirar.
¿Puede el contexto reducir el dominio algebraico?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Sí, por ejemplo exigiendo cantidades enteras o tiempo no negativo.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Toma una fórmula con dominio real amplio y propón un contexto que lo restrinja. Explica cómo cambia la interpretación sin cambiar la expresión algebraica.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.