Números complejos

Matemáticas I · Unidad 3

La forma binómica facilita sumas; la polar muestra giros, productos y raíces.

Lecciones del tema

Resumen y esquema de decisión

Formulario del tema

Forma binómica y operaciones

$$i^2=-1$$

$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}(c^2+d^2>0)$$

Módulo, argumento y forma polar

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

$$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$$

$$\arg z=\theta +2k\pi (k\in \mathbb{Z},z\ne 0)$$

Potencias y raíces complejas

$$z^n=r^n(\cos (n\theta )+i\sin (n\theta ))$$

$$w_k=\sqrt[n]{r}[\cos \frac{\theta +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\theta +2k\pi }{n}],k=0,\dots ,n-1$$

Refuerzo 1 · Recuperación activa

Cierra los apuntes. Escribe una respuesta antes de revelar cada criterio; después compárala y corrige lo que falte.

¿Cómo se suman complejos binómicos?

Sumando por separado partes reales e imaginarias.

¿Por qué un argumento no es único?

Añadir 2kπ representa la misma dirección.

¿Cuál es la separación angular entre raíces n-ésimas consecutivas?

2π/n.

Refuerzo 2 · Detecta el error

Refuerzo 3 · Reto de transferencia

Refuerzo 4 · Minitest mixto

Nueve preguntas del banco de las tres lecciones, reunidas para practicar la elección del método. Se reutilizan preguntas, no se presentan como un banco nuevo.

La parte imaginaria de 4−3i es…

1. −3
2. −3i
3. 4

Solución y explicación

Respuesta: −3. En a+bi, la parte imaginaria es el coeficiente real b.

El argumento del complejo cero…

1. Es siempre π
2. No está definido
3. Es siempre cero

Solución y explicación

Respuesta: No está definido. No hay dirección privilegiada para el punto situado en el origen.

Un complejo no nulo tiene, como valores distintos, …

1. Una raíz cúbica
2. Dos raíces cúbicas
3. Tres raíces cúbicas

Solución y explicación

Respuesta: Tres raíces cúbicas. La fórmula genera tres argumentos distintos módulo 2π.

El conjugado de −2+5i es…

1. 2−5i
2. −2−5i
3. 2+5i

Solución y explicación

Respuesta: −2−5i. Solo cambia el signo de la componente imaginaria.

Al multiplicar complejos, los argumentos…

1. Se multiplican
2. Se dividen
3. Se suman

Solución y explicación

Respuesta: Se suman. La composición de giros suma los ángulos.

Las raíces n-ésimas de z≠0 tienen…

1. El mismo módulo
2. El mismo argumento
3. Módulos opuestos

Solución y explicación

Respuesta: El mismo módulo. Todas se sitúan en una circunferencia de radio |z|^(1/n).

El producto (1+i)(1−i) vale…

1. 0
2. 2i
3. 2

Solución y explicación

Respuesta: 2. Es 1−i²=1−(−1)=2.

La forma más cómoda para sumar complejos suele ser…

1. La binómica
2. La polar siempre
3. Solo la exponencial

Solución y explicación

Respuesta: La binómica. Se pueden sumar directamente las dos componentes.

Para enumerarlas sin repetir se usa…

1. k=1 solamente
2. k=0,…,n−1
3. Todos los reales k

Solución y explicación

Respuesta: k=0,…,n−1. Esos n valores cubren una vuelta completa.

Refuerzo 5 · Flashcards del tema

Las doce tarjetas se comparten con las lecciones: son las mismas tarjetas, no doce duplicados que haya que estudiar dos veces.

¿Cuánto vale i²?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

−1.

Intenta responder antes de mirar.

¿Cómo se suman complejos binómicos?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Sumando por separado partes reales e imaginarias.

Intenta responder antes de mirar.

¿Para qué sirve el conjugado al dividir?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Para convertir el denominador en un real positivo, salvo que sea cero.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué ocurre con raíces no reales de una cuadrática real?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Aparecen como una pareja de complejos conjugados.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué mide el módulo?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

La distancia al origen del punto que representa el complejo.

Intenta responder antes de mirar.

¿Por qué un argumento no es único?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Añadir 2kπ representa la misma dirección.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué hace multiplicar por i?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Girar 90° en sentido antihorario conservando el módulo.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué cuidado requiere arctan(b/a)?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Hay que recuperar el cuadrante y tratar a=0 aparte.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué hace una potencia al argumento?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Lo multiplica por el exponente.

Intenta responder antes de mirar.

¿Cuál es la separación angular entre raíces n-ésimas consecutivas?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

2π/n.

Intenta responder antes de mirar.

¿Cuántas raíces distintas tiene w^n=0?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Una: w=0, aunque su multiplicidad es n.

Intenta responder antes de mirar.

¿Cómo comprobar raíces complejas?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Elevándolas a n o revisando que sus módulos y argumentos producen el original.

Intenta responder antes de mirar.

Refuerzo 6 · Mezcla con un tema anterior

Cambia de procedimiento para comprobar si puedes elegirlo sin que el título del tema te lo indique.

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Qué falló y cómo lo corregiréGuardar mi nota

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Fuentes y revisión editorial

Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.

• Real Decreto 243/2022, texto consolidado: enseñanzas mínimas de Bachillerato
• Orden de 30 de mayo de 2023: currículo de Bachillerato en Andalucía