Matemáticas I · 1.º Bachillerato · Números complejos
Resumen y formulario: Números complejos
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La idea que conecta el tema
La forma binómica facilita sumas; la polar muestra giros, productos y raíces.
Qué debes ser capaz de hacer
- Operar con números complejos en forma binómica y resolver ecuaciones sin raíces reales.
- Pasar entre las formas binómica, polar y trigonométrica y relacionarlas con transformaciones del plano.
- Calcular potencias y todas las raíces de un complejo mediante su representación polar.
Mapa de lecciones
Formulario esencial
Forma binómica y operaciones: i²=−1. (a+bi)(a−bi)=a²+b². (a+bi)/(c+di)=((a+bi)(c−di))/(c²+d²), c+di≠0.
Módulo, argumento y forma polar: |a+bi|=√(a²+b²). z=r(cosθ+i senθ). |zw|=|z||w|; arg(zw)=argz+argw, módulo 2π.
Potencias y raíces complejas: [r(cosθ+i senθ)]^n=r^n(cos(nθ)+i sen(nθ)). w_k=r^(1/n)[cos((θ+2kπ)/n)+i sen((θ+2kπ)/n)].
Cómo decidir el procedimiento
- Sitúa el complejo en el plano antes de elegir su argumento.
- Suma en forma binómica; para productos o potencias considera la polar.
- En una raíz n-ésima enumera los n argumentos.
- Comprueba que todas las raíces recuperan el complejo original.
Preguntas rápidas de recuperación
- −1.
- Sumando por separado partes reales e imaginarias.
- La distancia al origen del punto que representa el complejo.
- Añadir 2kπ representa la misma dirección.
- Lo multiplica por el exponente.
- 2π/n.