Matemáticas I · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Números complejos
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Forma binómica y operaciones
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Ejercicio 1. Calcula i^2026.
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Pista: Reduce el exponente módulo 4.
Solución: 2026=4·506+2; entonces i^2026=i²=−1.
Ejercicio 2. Resuelve z²+4z+13=0.
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Pista: El discriminante es negativo.
Solución: Δ=16−52=−36. z=(−4±6i)/2=−2±3i. Al sustituir, ambas raíces anulan el polinomio.
Ejercicio 3. Escribe 1/(2+i) en forma binómica.
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Pista: Multiplica por el conjugado 2−i.
Solución: 1/(2+i)=(2−i)/((2+i)(2−i))=(2−i)/5=2/5−i/5.
Módulo, argumento y forma polar
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Ejercicio 4. Escribe 1−i en forma trigonométrica usando un argumento en (−π,π].
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Pista: Está en el cuarto cuadrante.
Solución: El módulo es √2 y el argumento principal es −π/4. Por tanto z=√2(cos(−π/4)+i sen(−π/4)).
Ejercicio 5. Pasa 4(cos(π/3)+i sen(π/3)) a forma binómica.
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Pista: Multiplica el módulo por cada razón trigonométrica.
Solución: La parte real es 4·1/2=2 y la imaginaria 4·√3/2=2√3. Resultado: 2+2√3i.
Ejercicio 6. Dos complejos tienen módulos 2 y 3, y argumentos π/6 y π/3. Da módulo y argumento del producto.
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Pista: Multiplica módulos y suma ángulos.
Solución: El módulo es 6 y un argumento es π/2. El producto es 6i.
Potencias y raíces complejas
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Ejercicio 7. Resuelve w⁴=16.
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Pista: El módulo de las raíces es 2 y los argumentos se separan π/2.
Solución: Las soluciones son 2, 2i, −2 y −2i. Las cuatro elevadas a la cuarta potencia dan 16.
Ejercicio 8. Calcula (√3+i)^3.
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Pista: Su módulo es 2 y su argumento π/6.
Solución: La potencia tiene módulo 8 y argumento π/2. El resultado es 8i.
Ejercicio 9. Halla las raíces cuadradas de −9.
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Pista: Usa módulo 9 y argumento π.
Solución: Las raíces tienen módulo 3 y argumentos π/2 y 3π/2. Son 3i y −3i; ambas cumplen w²=−9.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.