Calcular probabilidades condicionadas y comprobar independencia a partir de tablas o datos agregados.
Míralo en un dibujo
Si A y B son independientes con probabilidades 0,4 y 0,5, P(A∩B)=0,2. Pueden ocurrir simultáneamente. Dos sucesos incompatibles de probabilidad positiva no son independientes.
Antes de seguir: ¿Qué igualdad se comprueba para independencia?
Comprueba tu razonamiento
P(A∩B)=P(A)P(B). No basta con que los sucesos tengan nombres distintos.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Frecuencias relativas; Probabilidad condicionada; Sucesos complementarios.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué es una marginal?
La probabilidad o frecuencia total de una categoría, sumando sobre la otra variable.
En un minuto
- La probabilidad o frecuencia total de una categoría, sumando sobre la otra variable.
- La intersección de categorías.
- El denominador de referencia.
- Casillas no negativas y totales coherentes.
Entiende la idea
El concepto
Condicionar una probabilidad significa cambiar el grupo de referencia a los casos que cumplen una información conocida. P(A|B) divide la probabilidad conjunta P(A∩B) entre P(B), siempre que este denominador sea positivo. En una tabla de personas, el denominador es el número de integrantes de B, no necesariamente el tamaño de toda la muestra.
La independencia expresa que conocer B no cambia la probabilidad de A. Puede comprobarse mediante P(A∩B)=P(A)P(B), una forma que también evita algunas dificultades de condicionadas no definidas. La incompatibilidad, en cambio, significa que ambos no pueden ocurrir juntos. Si tienen probabilidades positivas y son incompatibles, no son independientes.
Cómo utilizarlo sin errores
Las tablas de contingencia organizan intersecciones de categorías y sus totales marginales. Una misma casilla sirve para calcular proporción conjunta, por fila o por columna, pero el denominador cambia. Es esencial indicar qué porcentaje se está comunicando para no confundir la composición de un grupo con la probabilidad de pertenecer a él dada una característica.
Los datos de esta lección son ficticios y descriptivos. Una asociación en una tabla no demuestra causalidad ni generalización a toda la población. La selección de la muestra y otras variables pueden influir. Antes de interpretar, comprueba que las cuatro casillas sean no negativas y que los totales sumen el tamaño de la muestra.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Independencia: P(A∩B)=P(A)P(B). Casillas A∩B, A∩Bᶜ, Aᶜ∩B, Aᶜ∩Bᶜ suman 1.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · De 80 alumnos ficticios, 50 usan recurso A, 40 recurso B y 30 ambos. Calcula P(B|A), P(A|B) e independencia.
- P(B|A)=30/50=0,6. P(A|B)=30/40=0,75.
- P(A∩B)=30/80=0,375; P(A)P(B)=(50/80)(40/80)=0,3125.
- No son independientes según estos datos. La diferencia no prueba que usar uno cause usar el otro.
Ejemplo 2 · Completa las cuatro casillas del mismo grupo y calcula ninguno.
- Solo A: 50−30=20. Solo B: 40−30=10. Ambos: 30.
- La unión contiene 20+10+30=60, así que ninguno son 80−60=20.
- P(ninguno)=20/80=0,25. La tabla completa suma 80.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Si P(A)=0,3, P(B)=0,4 y P(A∩B)=0,12, comprueba independencia.
Primera ayuda
Compara el producto con la intersección.
Ver solución razonada
0,3·0,4=0,12. Son independientes según esas probabilidades.
Práctica 2 · En una muestra de 100, 25 son A∩B y 40 son B. Calcula P(A|B).
Primera ayuda
Divide por el total B.
Ver solución razonada
25/40=0,625. La conjunta sería 25/100=0,25, una pregunta diferente.
Práctica 3 · A y B son incompatibles y ambos tienen probabilidad 0,2. ¿Son independientes?
Primera ayuda
La intersección es cero, el producto no.
Ver solución razonada
No: P(A∩B)=0 frente a 0,2·0,2=0,04. Conocer uno excluye el otro.
El error que debes evitar
No invertir condicionadas. No confundir incompatibilidad con independencia. No comunicar un porcentaje sin especificar entre quiénes se calcula.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
P(A|B) usa como denominador…
Solución y explicación
Respuesta: P(B). B es la información conocida y el grupo de referencia.
Independencia significa…
Solución y explicación
Respuesta: No cambio de probabilidad al condicionar cuando está definido. La incompatibilidad es un concepto distinto.
Una asociación en una tabla…
Solución y explicación
Respuesta: Necesita cautela interpretativa. Diseño y selección influyen en la generalización.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué es una marginal?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La probabilidad o frecuencia total de una categoría, sumando sobre la otra variable.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué es una conjunta?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La intersección de categorías.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué cambia entre porcentajes por fila y columna?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El denominador de referencia.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo comprobar una tabla?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Casillas no negativas y totales coherentes.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Calcula P(B|Aᶜ) en el primer ejemplo y compárala con P(B|A), explicando qué información descriptiva añade.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
Consolida el tema completo
Abrir resumen, esquema y refuerzo de Probabilidad
Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.