Interpretar áreas y acumulaciones por tramos y calcular separaciones entre curvas sin cancelaciones indebidas.
Míralo en un dibujo
Entre x=0 y x=1, la curva y=x está por encima de y=x². El área encerrada es ∫₀¹(x−x²)dx=1/6.
Antes de seguir: ¿Cómo eliges cuál función restar?
Comprueba tu razonamiento
Identifica cuál está arriba en cada tramo. Si cambian de orden, separa la integral por los puntos de corte.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Primitivas; Unidades de tasas; Funciones a trozos.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué diferencia saldo y actividad absoluta?
El saldo permite cancelación; la magnitud absoluta suma contribuciones sin signo.
En un minuto
- El saldo permite cancelación; la magnitud absoluta suma contribuciones sin signo.
- Lo acumulado hasta la frontera.
- Una magnitud monetaria bajo la interpretación especificada.
- Cortes y cuál está por encima en cada tramo.
Entiende la idea
El concepto
Una integral puede representar una acumulación física, económica o geométrica según las variables. Si se desea área geométrica, la separación entre curvas debe ser no negativa. Se resta la función inferior de la superior en cada tramo y se dividen intervalos cuando cambian de posición. Tomar valor absoluto solo después de sumar puede no recuperar zonas que ya se cancelaron.
En modelos de mercado idealizados, integrar una diferencia de precios respecto a cantidades produce unidades monetarias y puede interpretarse como un excedente definido por el modelo. Esta interpretación depende de supuestos como curvas y precio común dados; no se traslada automáticamente a bienestar real o decisiones comerciales.
Cómo utilizarlo sin errores
Una tasa a trozos genera una función acumulada que debe sumar lo ocurrido antes de cada cambio. Si r(t)=10 hasta t=2 y después 20, la acumulación posterior no es simplemente 20t: hay que conservar las 20 unidades ya acumuladas y añadir la nueva tasa desde t=2. La acumulada puede ser continua aunque su derivada tenga un salto.
Para resolver, identifica límites, unidades y objeto: área absoluta, saldo neto o acumulación desde un instante. Dibuja o compara signos en cada tramo. Las condiciones iniciales y los valores de empalme evitan discontinuidades artificiales en la acumulada. Una misma tasa puede dar respuestas diferentes según se pida saldo, cantidad total movida o nivel final.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Área=∫|f−g|. Acumulada desde 0: A(t)=A(0)+∫₀ᵗr(s)ds. En tramos, se conserva la acumulación previa.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Una demanda ideal es p_D=14−q y una oferta p_O=q+2. Halla equilibrio y áreas de excedente respecto al precio de equilibrio entre 0 y q*.
- El corte cumple 14−q=q+2, de donde q*=6 y p*=8.
- El área entre demanda y precio es ∫₀⁶[(14−q)−8]dq=∫₀⁶(6−q)dq=18.
- El área entre precio y oferta es ∫₀⁶[8−(q+2)]dq=18. Son excedentes del modelo ideal, con unidades monetarias, no una medida empírica universal de bienestar.
Ejemplo 2 · Una tasa r(t) vale 10 para 0≤t≤2 y 20 para 2<t≤4. Con A(0)=0, escribe A(t).
- Hasta t=2, A(t)=10t y A(2)=20.
- Después, A(t)=20+20(t−2)=20t−20.
- Las dos expresiones valen 20 en el empalme, por lo que A es continua; su pendiente cambia de 10 a 20.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Calcula saldo neto y área absoluta de r(t)=t−2 en [0,4].
Primera ayuda
Divide en el cero t=2 para el área.
Ver solución razonada
El saldo es [t²/2−2t]₀⁴=0. El área absoluta suma dos triángulos de base 2 y altura 2: 2+2=4.
Práctica 2 · Halla el área entre y=3x e y=x² entre sus cortes.
Primera ayuda
Los cortes son 0 y 3 y 3x queda arriba.
Ver solución razonada
A=∫₀³(3x−x²)dx=[3x²/2−x³/3]₀³=27/2−9=9/2.
Práctica 3 · Si en el modelo a tramos A(0)=5, ¿cómo cambian A(2) y A(4)?
Primera ayuda
La acumulada incorpora el nivel inicial.
Ver solución razonada
A(2)=5+20=25 y A(4)=5+20+40=65. La tasa no cambia; toda la acumulada se desplaza 5 unidades.
El error que debes evitar
No reiniciar la acumulada al cambiar de tasa. No confundir áreas económicas ideales con datos reales. No tomar el módulo al final de una integral con cancelaciones.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Para un área geométrica se integra…
Solución y explicación
Respuesta: La separación no negativa. Se evita la cancelación entre tramos.
Una acumulada puede ser continua con tasa que salta…
Solución y explicación
Respuesta: Sí. La pendiente puede cambiar sin salto del valor acumulado.
Una interpretación económica de un área…
Solución y explicación
Respuesta: Depende del modelo y de las variables. Integrar precio por cantidad da una magnitud distinta de un área física.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué diferencia saldo y actividad absoluta?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El saldo permite cancelación; la magnitud absoluta suma contribuciones sin signo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué conservar al cambiar de tramo?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Lo acumulado hasta la frontera.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué indica el área precio-cantidad?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Una magnitud monetaria bajo la interpretación especificada.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué revisar antes de restar curvas?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Cortes y cuál está por encima en cada tramo.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Explica por qué A(t)=20t para t>2 sería incorrecta en el ejemplo y calcula el salto artificial que introduciría en t=2.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.