Calcular acumulaciones mediante integrales definidas y distinguir incrementos de valores totales.
Míralo en un dibujo
Se sombrea bajo y=x entre x=0 y x=2. La integral definida vale 2, el área del triángulo de base 2 y altura 2.
Antes de seguir: ¿Qué pasaría con una zona bajo el eje x?
Comprueba tu razonamiento
Aportaría valor negativo a la integral. Para área geométrica hay que separar signos o usar valores absolutos de los aportes.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Primitivas; Unidades de tasas; Funciones a trozos.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué hace Barrow?
Resta valores de una primitiva en los extremos.
En un minuto
- Resta valores de una primitiva en los extremos.
- Se cancela.
- No: puede haber compensación.
- Permite obtener el nivel final.
Entiende la idea
El concepto
La integral definida suma una tasa de cambio a lo largo de un intervalo. Si f representa unidades por hora y se integra respecto al tiempo en horas, el resultado tiene unidades de cantidad. El significado de las unidades ayuda a distinguir una acumulación de una media o de una tasa instantánea.
Cuando F es una primitiva válida del integrando, la regla de Barrow calcula la integral como F(b)−F(a). La constante de integración se cancela. Si f=C′, la integral entre dos cantidades da el incremento C(b)−C(a), no automáticamente el coste total C(b). Para obtener el nivel final se suma el inicial conocido.
Cómo utilizarlo sin errores
Las integrales son aditivas por intervalos y cambian de signo al invertir los límites. Si la tasa toma valores negativos, esos tramos disminuyen la cantidad acumulada. Una integral neta cero puede esconder entradas y salidas que se compensan; no implica ausencia de actividad.
El valor medio de una función en [a,b], con a<b, es su integral dividida por la longitud del intervalo. No siempre coincide con la media de sus valores en los extremos, salvo casos como funciones lineales. Antes de aplicar Barrow se revisa que el integrando y la primitiva sean adecuados en el intervalo; una singularidad interior exige otro análisis. En las aplicaciones de esta lección se usan tasas continuas ficticias o tramos definidos explícitamente.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
∫ₐᵇf=F(b)−F(a). Si f=C′: ∫ₐᵇC′=C(b)−C(a). Valor medio=(1/(b−a))∫ₐᵇf.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Una tasa de entrada ficticia es r(t)=20+4t unidades/hora entre 0 y 5 h. Calcula cantidad recibida y tasa media.
- La acumulación es ∫₀⁵(20+4t)dt=[20t+2t²]₀⁵=100+50=150 unidades.
- La tasa media es 150/5=30 unidades/hora.
- 150 y 30 responden a preguntas distintas y tienen unidades diferentes.
Ejemplo 2 · C′(q)=6+2q y C(0)=40. Calcula el incremento de coste entre 0 y 3 y el coste total en 3.
- El incremento es ∫₀³(6+2q)dq=[6q+q²]₀³=18+9=27.
- El coste total es C(3)=40+27=67.
- Omitir el coste inicial habría confundido variación con nivel.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Calcula ∫₁³(2x+1)dx.
Primera ayuda
Una primitiva es x²+x.
Ver solución razonada
(9+3)−(1+1)=10.
Práctica 2 · Halla el valor medio de f(t)=2t+1 en [0,4].
Primera ayuda
Divide la integral por 4.
Ver solución razonada
La integral es [t²+t]₀⁴=20 y el valor medio 20/4=5.
Práctica 3 · Una tasa neta es +3 durante 2 h y −2 durante 3 h. Calcula cambio neto.
Primera ayuda
Suma las acumulaciones con signo.
Ver solución razonada
3·2+(−2)·3=0. Hubo entradas y salidas de 6 unidades cada una; el cambio neto cero no significa inactividad.
El error que debes evitar
No confundir incremento con total. No olvidar dividir por b−a para la media. No perder signos de tasas negativas.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Integrar una tasa por hora respecto a horas da…
Solución y explicación
Respuesta: Cantidad. Las unidades de tiempo se cancelan.
∫₀ᵇC′(q)dq representa…
Solución y explicación
Respuesta: C(b)−C(0). Para el total hay que sumar el nivel inicial.
El valor medio de f se obtiene…
Solución y explicación
Respuesta: Dividiendo la integral por la longitud del intervalo. Esa es la definición de media integral.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué hace Barrow?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Resta valores de una primitiva en los extremos.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué ocurre con +C en una integral definida?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Se cancela.
Intenta responder antes de mirar.
¿Integral neta cero implica tasa cero?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No: puede haber compensación.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué añade un valor inicial a la integral de una tasa?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Permite obtener el nivel final.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Calcula por separado entradas, salidas y cambio neto del último ejercicio y explica qué medida usarías para describir la actividad total frente al saldo.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.