Calcular límites y asíntotas de modelos racionales y exponenciales interpretando sus restricciones.
Míralo en un dibujo
Se representa y=1/(x−1)+1, con asíntota vertical x=1 y horizontal y=1. La función no está definida en x=1.
Antes de seguir: ¿Cuál es el límite de esta función cuando x tiende a +∞?
Comprueba tu razonamiento
Es 1: el término 1/(x−1) tiende a cero.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Funciones; Límites; Costes e ingresos.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué comparar en racionales al infinito?
Grados y coeficientes dominantes.
En un minuto
- Grados y coeficientes dominantes.
- El coste fijo repartido por unidad.
- No: la definición se refiere al comportamiento lejano.
- Dominio, supuestos y validez del modelo fuera de los datos.
Entiende la idea
El concepto
Los límites permiten describir tendencias cerca de un umbral o a largo plazo dentro de un modelo. Una asíntota horizontal indica un valor al que se aproxima la función, pero no necesariamente lo alcanza ni representa un resultado garantizado en la realidad. La validez del modelo puede terminar antes de que la variable crezca indefinidamente.
En una función racional, comparar grados y coeficientes dominantes facilita límites al infinito. Si numerador y denominador tienen el mismo grado, el límite es la razón de sus coeficientes principales. Si el numerador tiene un grado más, la división puede producir una asíntota oblicua. Los ceros del denominador requieren revisar cancelaciones y límites laterales antes de clasificarlos como verticales.
Cómo utilizarlo sin errores
Un modelo de coste medio C(q)/q puede tener una asíntota vertical en q=0 desde el lado positivo por distribuir un coste fijo entre una producción cada vez menor. Eso no significa un coste total infinito: son magnitudes distintas. A gran q, un coste medio como F/q+c se aproxima al coste variable unitario c en ese modelo lineal.
En funciones exponenciales saturantes, el límite puede representar una capacidad teórica. La interpretación debe mencionar parámetros y dominio temporal. No se extrapola automáticamente un patrón observado a periodos lejanos. El estudio matemático incluye qué ocurre en extremos admisibles, si hay valores excluidos y cómo cambian signos, además de la operación algebraica que produce el límite.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Si C(q)=F+cq, coste medio=F/q+c, q>0. lim_q→∞C(q)/q=c. Asíntota horizontal: lim f=L; vertical: límite infinito.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Estudia el coste medio de C(q)=120+6q para q>0.
- C_m(q)=120/q+6. Cuando q→0⁺, C_m→+∞: asíntota vertical q=0 por ese lado.
- Cuando q→∞, C_m→6: asíntota horizontal y=6.
- El coste total en q=0 es 120, no infinito. La divergencia corresponde a dividirlo entre una producción que tiende a cero.
Ejemplo 2 · Un modelo ficticio es N(t)=1000/(1+9e^(−0,2t)), t≥0. Calcula N(0) y su límite lejano.
- N(0)=1000/(1+9)=100.
- Al crecer t, e^(−0,2t)→0 y N(t)→1000.
- 1000 es una capacidad asintótica del modelo. No se afirma que una población real llegue a ella ni que lo haga en un tiempo finito.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Calcula lim_q→∞(4q²+3q)/(2q²+1).
Primera ayuda
Divide todo por q².
Ver solución razonada
El límite es 4/2=2.
Práctica 2 · ¿Hay asíntota vertical en q=2 para (q²−4)/(q−2)?
Primera ayuda
Factoriza.
Ver solución razonada
No: para q≠2 la función vale q+2 y el límite es 4. Hay un hueco si el punto no se redefine.
Práctica 3 · Obtén la oblicua de f(x)=(x²+2x+3)/(x+1).
Primera ayuda
Realiza división polinómica.
Ver solución razonada
f=x+1+2/(x+1). El resto tiende a cero en los infinitos, por lo que la oblicua es y=x+1; además x=−1 es vertical.
El error que debes evitar
No confundir coste total y medio. No asignar vertical a todo denominador cero. No tratar una capacidad matemática como previsión garantizada.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Coste medio infinito cuando q→0⁺ implica coste total infinito…
Solución y explicación
Respuesta: No. Dividir una cantidad fija positiva entre casi cero puede divergir.
Un límite de saturación es…
Solución y explicación
Respuesta: Una propiedad del modelo. La validez real y el alcance temporal requieren evidencia adicional.
Un factor cancelado en un cociente puede producir…
Solución y explicación
Respuesta: Un hueco, no una vertical. La simplificación describe el entorno, pero no rellena el dominio original.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué comparar en racionales al infinito?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Grados y coeficientes dominantes.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué representa F/q?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El coste fijo repartido por unidad.
Intenta responder antes de mirar.
¿Una horizontal impide cruzarla?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No: la definición se refiere al comportamiento lejano.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué revisar antes de extrapolar?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Dominio, supuestos y validez del modelo fuera de los datos.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Calcula cuánta producción exige el modelo de coste medio para quedar por debajo de 7 y explica por qué nunca baja de 6 para q>0.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.