Determinar dominios y estudiar continuidad en funciones que representan tarifas, demanda y otras relaciones.
Míralo en un dibujo
La función es x+1 para x<2 y x−1 para x≥2. El límite por la izquierda es 3 y por la derecha es 1; no hay límite bilateral en 2.
Antes de seguir: ¿Se arregla el salto cambiando solo f(2)?
Comprueba tu razonamiento
No. Los límites laterales son distintos, independientemente del valor aislado que se asigne a f(2).
Antes de empezar
Necesitas manejar: Funciones; Límites; Costes e ingresos.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué exige ln g(x) real?
g(x)>0.
En un minuto
- g(x)>0.
- Elegir la rama que contiene el valor.
- No: continuidad y derivabilidad son distintas.
- A qué unidades se aplica el nuevo precio.
Entiende la idea
El concepto
El dominio reúne los valores para los que una función está definida y tiene sentido en el problema. Las restricciones algebraicas proceden de denominadores no nulos, radicandos de raíces pares no negativos y argumentos de logaritmos positivos. El contexto puede añadir límites: cantidades no negativas, capacidades máximas o precios que no pueden ser negativos dentro del modelo.
Una función a trozos utiliza expresiones distintas en intervalos diferentes. Es esencial indicar qué rama incluye cada frontera para que un valor no quede sin definir o tenga dos definiciones contradictorias. Evaluar un punto exige elegir primero su intervalo, no sustituirlo en la fórmula más cómoda.
Cómo utilizarlo sin errores
La continuidad en un punto de unión requiere que los límites laterales coincidan entre sí y con el valor de la función. Un cambio de tarifa puede ser continuo si solo modifica el coste marginal de las unidades adicionales, o presentar un salto si el nuevo precio se aplica a todas las unidades. Son modelos distintos aunque usen los mismos números.
Una discontinuidad no es automáticamente un error del modelo: puede representar un coste fijo, un umbral o un cambio de régimen. Lo importante es describirla y no aplicar después teoremas de continuidad o derivación donde no corresponden. Los ejemplos de tarifas son hipotéticos. Se estudia su estructura matemática, no se afirma que sean condiciones comerciales vigentes.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Dominio real: denominadores≠0, raíces pares con radicando≥0, logaritmos con argumento>0. Continuidad en a: límites laterales=f(a).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Determina el dominio de f(x)=ln(x−1)/(x−4) y el de p(q)=60−2q si cantidad y precio deben ser no negativos.
- En f, ln(x−1) exige x>1 y el denominador excluye x=4. Dominio: (1,4)∪(4,∞).
- En el modelo de demanda, q≥0 y 60−2q≥0, luego q≤30.
- El dominio contextual es [0,30], aunque la expresión lineal exista algebraicamente para todo real.
Ejemplo 2 · Una tarifa vale C(q)=5q para 0≤q≤10 y C(q)=50+3(q−10) para q>10. Estudia el empalme y calcula C(14).
- En q=10, la primera rama da 50 y la segunda tiende a 50. La tarifa es continua.
- Para q=14 corresponde la segunda: C=50+3·4=62.
- El menor precio se aplica solo a las unidades adicionales, no a todas las catorce.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Una tarifa alternativa cobra 5q si q<10 y 4q si q≥10. ¿Es continua en 10?
Primera ayuda
Compara el límite izquierdo con el valor y el derecho.
Ver solución razonada
El límite izquierdo es 50, mientras C(10)=40 y el límite derecho es 40. Hay un salto descendente de 10 unidades monetarias.
Práctica 2 · Halla a para que f(x)=x² si x≤2 y ax+1 si x>2 sea continua.
Primera ayuda
Iguala el valor 4 con el límite derecho.
Ver solución razonada
2a+1=4, luego a=3/2. Eso no garantiza derivabilidad, porque las pendientes laterales serían 4 y 3/2.
Práctica 3 · Calcula el dominio de √(q−2)/(q−5) si además q≤8.
Primera ayuda
Combina todas las restricciones.
Ver solución razonada
q≥2, q≠5 y q≤8: dominio [2,5)∪(5,8].
El error que debes evitar
No ignorar restricciones económicas del dominio. No aplicar una rama fuera de su intervalo. No confundir un descuento por tramo con un descuento a todas las unidades.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
El dominio contextual…
Solución y explicación
Respuesta: Puede ser más restringido. Cantidades, precios o capacidades añaden condiciones.
Continuidad exige…
Solución y explicación
Respuesta: Coincidencia de límites y valor. Las tres piezas deben ser compatibles.
Un salto de tarifa puede representar…
Solución y explicación
Respuesta: Un cambio real del modelo de cobro. Debe describirse y tratarse con sus consecuencias.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué exige ln g(x) real?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
g(x)>0.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué hacer antes de evaluar una función a trozos?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Elegir la rama que contiene el valor.
Intenta responder antes de mirar.
¿Igualar valores garantiza pendientes iguales?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No: continuidad y derivabilidad son distintas.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué distingue tarifa marginal y tarifa a todas las unidades?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
A qué unidades se aplica el nuevo precio.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Compara gráficamente las dos tarifas de esta lección y explica qué ocurre con el coste al pasar de 9,99 a 10 unidades en cada modelo.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
Consolida el tema completo
Abrir resumen, esquema y refuerzo de Funciones y límites
Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.