Optimizar funciones lineales sobre regiones factibles y reconocer óptimos múltiples, inexistentes o enteros.
Míralo en un dibujo
En x≥0, y≥0, x+y≤4 se evalúa Z=2x+y. En los vértices (0,0), (4,0), (0,4) vale 0, 8 y 4; el máximo es 8 en (4,0).
Antes de seguir: ¿Qué cambia al sustituir la función objetivo sin cambiar restricciones?
Comprueba tu razonamiento
La región admisible se mantiene; puede cambiar qué vértice o segmento proporciona el óptimo.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Inecuaciones; Sistemas lineales; Gráficas en el plano.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Dónde buscar un óptimo de un polígono compacto?
En sus vértices, incluyendo la posibilidad de lados óptimos.
En un minuto
- En sus vértices, incluyendo la posibilidad de lados óptimos.
- Que puede mejorar sin cota dentro de la región factible.
- Solo se admiten coordenadas enteras.
- Cantidades, valor del objetivo, unidades y posibles empates.
Entiende la idea
El concepto
La programación lineal optimiza una función objetivo lineal sujeta a restricciones lineales. En dos variables se representa la región factible y se estudia F=ax+by. En un polígono factible cerrado y acotado, un máximo y un mínimo se alcanzan en algún vértice. Esto permite evaluar una lista finita de puntos, siempre que la región y las condiciones sean las adecuadas.
Si dos vértices adyacentes dan el mismo valor óptimo, todo el segmento entre ellos también es óptimo, porque la función es lineal. No siempre existe una única combinación mejor. Si la región es no acotada, hay que analizar si la función puede crecer o disminuir sin límite en direcciones factibles; no basta concluir que cualquier objetivo carece de óptimo.
Cómo utilizarlo sin errores
La interpretación requiere distinguir objetivo y restricciones. Un beneficio se maximiza; un coste puede minimizarse, pero el sentido lo fija la pregunta. Las unidades del resultado corresponden a la función objetivo y deben acompañar a las cantidades óptimas. Los datos del curso son hipotéticos, sin pretensión de recomendación empresarial.
Si las variables deben ser enteras, el óptimo continuo puede no ser admisible. Redondear ambas coordenadas puede violar restricciones. Deben examinarse puntos enteros factibles o utilizar un método de programación entera. En estos ejercicios pequeños es posible comprobar candidatos cercanos y fronteras, justificando por qué ninguno mejora. La solución final debe indicar si hay empate, si no existe región o si el objetivo es ilimitado.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Objetivo F=ax+by. En polígono factible compacto: evaluar vértices. Empate óptimo en un lado → todos sus puntos óptimos. Integridad requiere una comprobación adicional.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Maximiza F=3x+2y con x,y≥0, x+y≤6, 2x+y≤8.
- Los vértices son (0,0),(4,0),(2,4),(0,6).
- Los valores de F son 0,12,14,12, respectivamente.
- El máximo es 14 en (2,4). Se verifica que consume exactamente las dos restricciones activas: 2+4=6 y 4+4=8.
Ejemplo 2 · En la misma región, maximiza G=x+y.
- En los vértices se obtiene 0,4,6,6.
- Los puntos (2,4) y (0,6) empatan y son adyacentes sobre x+y=6.
- Todo el segmento entre ellos es óptimo, con G=6. No se debe informar únicamente de uno de los extremos como solución exclusiva.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Minimiza x+y en x,y≥0 y x+y≥10. ¿La no acotación impide el mínimo?
Primera ayuda
La propia restricción da una cota inferior alcanzable.
Ver solución razonada
El mínimo es 10, alcanzado en todo el segmento x+y=10 del primer cuadrante. La región es no acotada, pero el objetivo sí tiene mínimo.
Práctica 2 · Maximiza x+y con x,y≥0 sin otras restricciones.
Primera ayuda
Busca una dirección factible de crecimiento.
Ver solución razonada
No hay máximo finito: tomando x=t,y=0 con t→∞, el objetivo crece sin cota.
Práctica 3 · Maximiza x+y con x,y enteros no negativos, x+2y≤5 y 2x+y≤5.
Primera ayuda
El óptimo continuo está en (5/3,5/3), pero debe respetarse integridad.
Ver solución razonada
El valor continuo máximo es 10/3. Para enteros, x+y≤3 porque es entero y no supera 10/3. Se alcanza en (1,2) y (2,1), ambas factibles. Redondear a (2,2) incumple las restricciones.
El error que debes evitar
No optimizar antes de verificar la región. No confundir no acotación con inexistencia de todo óptimo. No redondear sin comprobar restricciones.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Dos vértices adyacentes con el mismo valor máximo implican…
Solución y explicación
Respuesta: Óptimo en todo el segmento. La linealidad mantiene el valor en sus combinaciones convexas.
Una región no acotada…
Solución y explicación
Respuesta: Exige estudiar el objetivo concreto. Puede tener óptimos finitos para ciertas direcciones de optimización.
Redondear un óptimo continuo para un problema entero…
Solución y explicación
Respuesta: Puede violar restricciones. La factibilidad debe revisarse después.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Dónde buscar un óptimo de un polígono compacto?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
En sus vértices, incluyendo la posibilidad de lados óptimos.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué significa objetivo ilimitado?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Que puede mejorar sin cota dentro de la región factible.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué cambia en programación entera?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Solo se admiten coordenadas enteras.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué debe comunicar una solución contextual?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Cantidades, valor del objetivo, unidades y posibles empates.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Cambia los coeficientes del objetivo del primer ejemplo y busca uno que haga óptimo todo el lado 2x+y=8; justifica el empate por evaluación y geometría.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.