Resolver y discutir sistemas lineales y comprobar la viabilidad de sus soluciones en contextos sociales.
Míralo en un dibujo
Si rg(A)≠rg(A|b), el sistema es incompatible. Si son iguales al número n de incógnitas, hay solución única. Si coinciden y son menores que n, hay infinitas soluciones.
Antes de seguir: ¿Qué ocurre si la ampliada tiene mayor rango?
Comprueba tu razonamiento
El sistema es incompatible: alguna ecuación añade una contradicción con las anteriores.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Inecuaciones; Sistemas lineales; Gráficas en el plano.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué se define antes de formular?
Incógnitas, unidades y significado de cada condición.
En un minuto
- Incógnitas, unidades y significado de cada condición.
- Contradicción e incompatibilidad.
- Restricciones sobre los parámetros libres.
- No sin comprobar que siga cumpliendo las ecuaciones.
Entiende la idea
El concepto
Un sistema lineal traduce varias condiciones simultáneas sobre cantidades desconocidas. Es útil definir las incógnitas con sus unidades antes de escribir ecuaciones: número de productos, precio por unidad o número de personas no son intercambiables. Cada ecuación debe representar un balance o una relación concreta del enunciado.
La eliminación de Gauss transforma el sistema mediante operaciones equivalentes sobre ecuaciones completas. Una fila 0=0 indica redundancia; una fila 0=c con c no nulo indica incompatibilidad. Si quedan menos pivotes que incógnitas y no hay contradicción, las soluciones se expresan con parámetros libres.
Cómo utilizarlo sin errores
El criterio de rangos distingue los casos: rangos de coeficientes y ampliada diferentes significan ninguna solución; iguales al número de incógnitas, una; iguales pero menores, infinitas. En matrices cuadradas, un determinante no nulo garantiza solución única. Cuando aparece un parámetro, los valores que anulan el determinante deben estudiarse por separado.
La solución matemática se valida contra restricciones del contexto. Un sistema puede tener solución real pero no una combinación de cantidades enteras no negativas. No se redondean resultados para forzar su interpretación. También puede haber datos redundantes o incompatibles por un error en el enunciado; la respuesta debe mostrarlo en vez de inventar información. Los problemas de esta lección emplean balances ficticios y sirven para aprender modelización exacta.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Ax=b. Compatible ⇔ rango(A)=rango([A|b]). Única si rango común=n; infinitas si es menor. Restricciones contextuales se verifican después.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Resuelve x+y+z=60; 2x+y+3z=110; x+2y+z=80.
- Restar la primera de la tercera da y=20. Entonces x+z=40.
- La segunda queda 2x+3z=90. Restando 2(x+z)=80 resulta z=10.
- x=30. Las tres cantidades son no negativas y verifican todos los balances.
Ejemplo 2 · Discute x+y=10; 2x+ay=b.
- El determinante de [1,1;2,a] es a−2. Si a≠2, y=(b−20)/(a−2) y x=10−y, solución única.
- Si a=2 y b=20, la segunda ecuación es el doble de la primera: infinitas soluciones x=10−t,y=t.
- Si a=2 y b≠20, aparece contradicción y no hay solución. Si se exigen cantidades no negativas, en el caso infinito se restringe t a [0,10].
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Resuelve x+y=30 y 5x+8y=198.
Primera ayuda
Elimina x multiplicando la primera por 5.
Ver solución razonada
3y=48, y=16 y x=14. Ambas son enteras no negativas.
Práctica 2 · Clasifica x+2y=4 y 2x+4y=9.
Primera ayuda
Resta dos veces la primera.
Ver solución razonada
Se obtiene 0=1: sistema incompatible.
Práctica 3 · En el segundo ejemplo, toma a=3,b=25 y comprueba la solución.
Primera ayuda
Usa la fórmula del caso no singular.
Ver solución razonada
y=(25−20)/(3−2)=5 y x=5. Se verifica 5+5=10 y 2·5+3·5=25.
El error que debes evitar
No confundir número de ecuaciones con rango. No olvidar restricciones de integridad. No omitir casos singulares en una discusión.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Una ecuación redundante…
Solución y explicación
Respuesta: No añade una restricción independiente. Puede reducir el rango respecto al número de ecuaciones.
Una solución de cantidades negativas…
Solución y explicación
Respuesta: Puede ser inadmisible en el contexto. El álgebra y la factibilidad contextual deben distinguirse.
Si un parámetro anula el determinante…
Solución y explicación
Respuesta: Se estudia ese caso aparte. Puede haber incompatibilidad o infinitas soluciones.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué se define antes de formular?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Incógnitas, unidades y significado de cada condición.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué indica 0=c con c≠0?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Contradicción e incompatibilidad.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué añade no negatividad a una familia de soluciones?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Restricciones sobre los parámetros libres.
Intenta responder antes de mirar.
¿Es válido redondear una solución exacta de conteo?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No sin comprobar que siga cumpliendo las ecuaciones.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Interpreta el caso a=2,b=20 como dos condiciones que contienen la misma información y explica qué dato adicional podría determinar una solución única.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.