Calcular inversas y resolver ecuaciones matriciales manteniendo el orden de multiplicación.
Míralo en un dibujo
Para A=[[2,1],[1,3]], A⁻¹=(1/5)[[3,−1],[−1,2]]. Su producto es la identidad de orden 2.
Antes de seguir: ¿Cómo comprobarías una inversa calculada?
Comprueba tu razonamiento
Multiplicándola por la matriz original: el resultado debe ser la identidad.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Operaciones matriciales; Sistemas; Proporciones.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Cómo comprobar una inversa?
El producto debe dar identidad.
En un minuto
- El producto debe dar identidad.
- Inversibilidad en orden dos.
- El producto matricial no conmuta en general.
- Que satisfagan ecuaciones y restricciones del contexto.
Entiende la idea
El concepto
La inversa de una matriz cuadrada A es otra matriz A⁻¹ que cumple AA⁻¹=A⁻¹A=I. No todas las matrices cuadradas la tienen. En orden dos, el determinante ad−bc permite comprobarlo: si es cero, no hay inversa. Que ninguna entrada sea cero no garantiza inversibilidad.
La fórmula de la inversa 2×2 intercambia las entradas de la diagonal, cambia el signo a las otras dos y divide por el determinante. Puede comprobarse multiplicando por la matriz original. En órdenes mayores, Gauss–Jordan o cofactores permiten construirla, aunque para resolver un sistema concreto puede resultar más eficiente la eliminación directa.
Cómo utilizarlo sin errores
Una ecuación AX=B se resuelve multiplicando a la izquierda por A⁻¹. En cambio, XA=B se resuelve multiplicando a la derecha. Como el producto no es conmutativo, esos pasos no se intercambian. En AXB=C, con A y B invertibles y dimensiones compatibles, la solución es X=A⁻¹CB⁻¹.
En modelos económicos, una inversa puede recuperar cantidades a partir de combinaciones observadas, pero la solución debe validarse en el contexto. Precios o cantidades negativas podrían indicar que los datos no encajan con la interpretación asumida. Si aparece un parámetro en el determinante, se separan los valores que lo anulan antes de dividir. La respuesta final debe distinguir ausencia de inversa de ausencia de soluciones de una ecuación concreta: una matriz singular puede formar sistemas compatibles o incompatibles según el término independiente.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
[a,b;c,d]⁻¹=(1/(ad−bc))[d,−b;−c,a], si ad−bc≠0. AX=B → X=A⁻¹B. XA=B → X=BA⁻¹.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Resuelve [1,1;2,3][x;y]=[8;21].
- El determinante es 1·3−1·2=1. La inversa es [3,−1;−2,1].
- [x;y]=[3·8−21;−2·8+21]=[3;5].
- Comprobación: 3+5=8 y 2·3+3·5=21. Las cantidades obtenidas son no negativas.
Ejemplo 2 · Halla la inversa de A=[3,1;2,1] y verifica el producto.
- det(A)=3−2=1, por lo que A⁻¹=[1,−1;−2,3].
- AA⁻¹=[3−2,−3+3;2−2,−2+3]=I.
- La verificación también detectaría un error en el orden o en los signos de la fórmula.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · ¿Es invertible A=[2,4;1,2]?
Primera ayuda
Calcula el determinante.
Ver solución razonada
det=4−4=0. No existe inversa, aunque la matriz no sea nula.
Práctica 2 · Resuelve AX=C con A=[2,1;1,1] y C=[5,3;3,2].
Primera ayuda
A⁻¹=[1,−1;−1,2].
Ver solución razonada
X=A⁻¹C=[2,1;1,1]. Puede verificarse que A²=C.
Práctica 3 · Despeja X en 2XA=B, suponiendo A invertible.
Primera ayuda
Divide por el escalar y multiplica por la inversa al lado correcto.
Ver solución razonada
X=(1/2)BA⁻¹. No se coloca A⁻¹ a la izquierda salvo que exista una razón adicional de conmutación.
El error que debes evitar
No dividir entrada a entrada para invertir una matriz. No olvidar el determinante. No concluir incompatibilidad de todo sistema solo por singularidad.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Una matriz cuadrada con determinante cero…
Solución y explicación
Respuesta: No tiene inversa. La singularidad impide multiplicar hasta identidad.
Para XA=B se multiplica por A⁻¹…
Solución y explicación
Respuesta: A la derecha. Así A y A⁻¹ quedan adyacentes en el lado adecuado.
Matriz singular significa que todo sistema con ella…
Solución y explicación
Respuesta: Necesita estudiar el término independiente. Puede haber infinitas soluciones o ninguna.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Cómo comprobar una inversa?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El producto debe dar identidad.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué indica ad−bc≠0?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Inversibilidad en orden dos.
Intenta responder antes de mirar.
¿Por qué importa el lado al multiplicar?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El producto matricial no conmuta en general.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué revisar tras recuperar cantidades?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Que satisfagan ecuaciones y restricciones del contexto.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Escribe dos columnas independientes distintas para A=[2,4;1,2]: una que permita soluciones y otra que produzca contradicción.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.