Matemáticas I · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Funciones
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Dominio y características de una función
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Ejercicio 1. Halla el dominio de ln(5−x).
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Pista: El argumento del logaritmo debe ser positivo.
Solución: 5−x>0 equivale a x<5. Dominio: (−∞,5).
Ejercicio 2. Indica si f(x)=x³−x es par, impar o ninguna.
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Pista: Sustituye x por −x.
Solución: f(−x)=−x³+x=−(x³−x)=−f(x). Es impar y su dominio, todos los reales, es simétrico.
Ejercicio 3. Una función da el coste de comprar q cuadernos a 2 € cada uno. ¿Cuál es el dominio contextual si solo hay 20 cuadernos?
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Pista: Se compran objetos enteros, no cantidades reales cualesquiera.
Solución: C(q)=2q y q∈{0,1,…,20}. El dominio contextual es discreto; no incluye 1,5 cuadernos ni cantidades negativas.
Funciones elementales y transformaciones
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Ejercicio 4. Da vértice y recorrido de (x+2)²−5.
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Pista: Escribe x+2 como x−(−2).
Solución: El vértice es (−2,−5). Abre hacia arriba y su recorrido es [−5,∞).
Ejercicio 5. Calcula amplitud y periodo de 3sen(2x).
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Pista: Distingue el factor exterior del interior.
Solución: La amplitud es 3 y el periodo es 2π/2=π.
Ejercicio 6. Un valor se reduce a la mitad cada hora. Propón un modelo si parte de 80.
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Pista: El factor de cambio por hora es 1/2.
Solución: V(t)=80·(1/2)^t, con t≥0 en horas. A las tres horas vale 10. El modelo es exponencial decreciente, no lineal.
Composición e inversa
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Ejercicio 7. Halla la inversa de f(x)=x³+2.
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Pista: La función cúbica es inyectiva en los reales.
Solución: y=x³+2 implica x=∛(y−2). Por tanto f⁻¹(x)=∛(x−2), con dominio real.
Ejercicio 8. ¿Tiene x² inversa como función de todos los reales en [0,∞)?
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Pista: Compara las imágenes de 2 y −2.
Solución: No es inyectiva: ambas entradas dan 4. Restringiendo el dominio a [0,∞), sí tiene inversa √x.
Ejercicio 9. Si f(x)=1/x y g(x)=x−2, calcula f∘g y su dominio.
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Pista: La entrada de f no puede ser cero.
Solución: (f∘g)(x)=1/(x−2). Se excluye x=2; dominio (−∞,2)∪(2,∞).
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.