Matemáticas I · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Geometría analítica
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Vectores en el plano y producto escalar
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Ejercicio 1. Calcula AB para A=(−1,2) y B=(3,5), y su módulo.
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Pista: Resta coordenadas de destino menos origen.
Solución: AB=(4,3) y |AB|=√(16+9)=5.
Ejercicio 2. Encuentra k para que (2,k) y (3,−1) sean perpendiculares.
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Pista: Iguala el producto escalar a cero.
Solución: 2·3+k·(−1)=0, luego 6−k=0 y k=6. Ambos vectores son no nulos.
Ejercicio 3. Expresa (5,1) como combinación de (1,1) y (1,−1).
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Pista: Plantea a(1,1)+b(1,−1)=(5,1).
Solución: Las componentes dan a+b=5 y a−b=1. Sumando, 2a=6, así que a=3 y b=2. Por tanto (5,1)=3(1,1)+2(1,−1).
Ecuaciones de la recta y posiciones relativas
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Ejercicio 4. Escribe la recta vertical que pasa por (3,−1).
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Pista: Todos sus puntos tienen la misma coordenada x.
Solución: La recta es x=3. Una parametrización es (x,y)=(3,−1)+t(0,1). No tiene pendiente finita.
Ejercicio 5. Estudia 2x−y+1=0 y 4x−2y+5=0.
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Pista: Compara los coeficientes de las variables y el término independiente.
Solución: Los coeficientes de x e y son proporcionales, pero multiplicar la primera ecuación por 2 daría término 2, no 5. Son paralelas distintas.
Ejercicio 6. Halla la perpendicular a y=2x+1 que pasa por (0,3).
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Pista: La nueva pendiente es −1/2.
Solución: Usando punto-pendiente: y−3=(−1/2)x. Por tanto y=−x/2+3. Su pendiente multiplicada por 2 da −1.
Distancias, ángulos y lugares geométricos
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Ejercicio 7. Halla la distancia entre (−1,2) y (2,6).
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Pista: El vector diferencia es (3,4).
Solución: La distancia vale √(3²+4²)=5.
Ejercicio 8. Halla la mediatriz del segmento con extremos A=(0,0) y B=(4,0).
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Pista: Es la recta perpendicular por el punto medio.
Solución: El punto medio es (2,0) y el segmento es horizontal. Su mediatriz es x=2. También se obtiene igualando x²+y²=(x−4)²+y².
Ejercicio 9. Calcula el ángulo menor de las rectas con directores (1,1) y (1,0).
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Pista: Usa el producto escalar y los módulos.
Solución: cosα=|1|/(√2·1)=1/√2. Por tanto α=45°.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.